Willmore-Energie

Die Willmore-Energie ist in der Differentialgeometrie eine Größe, die die Biegungsenergie von im Raum eingebetteten Flächen misst. Sie ist nach Thomas Willmore benannt.

Definition

Für eine glatte, eingebettete, kompakte, orientierte Fläche $\Sigma \subset \mathbb {R} ^{3}$ mit mittlerer Krümmung $H:\Sigma \rightarrow \mathbb {R}$ definiert man die Willmore-Energie

$W(\Sigma )=\int _{\Sigma }H^{2}dA$.

Motivation

Minimalflächen im $\mathbb {R} ^{3}$ sind per Definition Flächen, deren mittlere Krümmung verschwindet: $H\equiv 0$.

Aus dem Maximumprinzip folgt, dass es im $\mathbb {R} ^{3}$ keine kompakten Minimalflächen ohne Rand gibt. Stattdessen sucht man nach geschlossenen Flächen, welche die Willmore-Energie minimieren.

Variante

Gelegentlich wird die Willmore-Energie auch durch

$\int _{\Sigma }(H^{2}-K)dA$

mit der Gauß-Krümmung $K:\Sigma \rightarrow \mathbb {R}$ definiert.

Weil nach dem Satz von Gauß-Bonnet

$\int _{\Sigma }KdA=2\pi \chi (\Sigma )=4\pi (1-g)$

gilt, unterscheiden sich die beiden Definitionen nur durch eine (von der Topologie der Fläche $\Sigma$ abhängende) Konstante.

Sphären

Eine runde Sphäre von beliebigem Radius $r$ hat Willmore-Energie $W(S^{2}(r))=4\pi$. Eine elementare Anwendung der Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel (zusammen mit dem Satz von Gauss-Bonnet) zeigt, dass für jede andere Sphäre die Willmore-Energie größer als $4\pi$ ist.

Tori

Clifford-Tori haben Willmore-Energie $W(T)=2\pi ^{2}$.

Thomas Willmore vermutete 1965, dass für jede Fläche vom Geschlecht $\geq 1$ die Ungleichung

$W(\Sigma )\geq 2\pi ^{2}$

gilt. Ein Beweis dieser Vermutung wurde im Februar 2012 von Fernando Codá Marques und André Neves angekündigt. Martin Schmidt hat schon 2002 in einen Beweis der Willmore-Vermutung dargestellt, dessen Vollständigkeit allerdings in der Fachwelt umstritten ist.

Immersionen

Die Willmore-Energie kann auch für Immersionen $f:\Sigma \rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ definiert werden. Li und Yau haben bewiesen, dass für jede nicht-eingebettete immersierte Fläche die Willmore-Energie mindestens $8\pi$ ist. Insbesondere wird das Minimum der Willmore-Energie unter immersierten Sphären und Tori tatsächlich durch eingebettete Flächen realisiert.

Für immersierte projektive Ebenen ist die Willmore-Energie mindestens $16\pi$, das Minimum wird durch die Bryant-Kusner-Parametrisierung der Boyschen Fläche realisiert.

Weblinks

• Yann Bernard: Autour des surfaces de Willmore