Diskussion:Zielmenge

Bitte um Erklärung

Zielmenge- grün,

Ich bitte für mich als Mathelaien um eine ganz einfache Erklärung der Zielmenge. Ist das Bild korrekt: Zielmenge- grün? Was ist dann in diesem Bild die Wertemenge und was die Bildmenge? Welche elemente aus dem Bild gehören zur

• Zielmenge,
• Wertemenge,
• Bildmenge

Im Artikel steht: "Die Zielmenge ist nur der Vorrat für mögliche Werte von f – es ist nicht zwingend erforderlich, dass diese auch alle tatsächlich durch f angenommen werden. " Also würde ich sagen, dass a, b, c und d zur Zielmenge gehören (rote Menge).

Unter Bild (Mathematik) steht: "... wird das Bild des gesamten Definitionsbereiches von f, also die Menge aller Werte die f annimmt, auch als Wertemenge bezeichnet." Also gehören b und c zur Bildmenge ( = Wertemenge) (grüne Menge).

Wertemenge ist entweder die Bildmenge oder die Zielmenge. "Meist wird Wertemenge im Sinne von Bildmenge und Wertebereich im Sinne von Zielmenge benutzt, die Verwendung ist aber dennoch nicht einheitlich."

D und W müssen im Bild vertauscht werden. Definitionsmenge ( = Definitionsbereich) : "Für eine Funktion ist also stets der Definitionsbereich gleich der Quelle."

--stefan 20:40, 17. Okt. 2007 (CEST)

Das Bild stellt keine Funktion dar, passt also eigentlich nicht zu dem vorliegenden Artikel. Wasseralm 22:23, 17. Nov. 2007 (CET)

Wie könnte denn ein Bild zum Artikel aussehen? --stefan 23:24, 24. Nov. 2007 (CET)

Das Bild wäre in jedem Fall falsch, denn die Zielmenge besteht eben gerade nicht nur aus den tatsächlich angenommenen Werten, sondern aus allen Elementen der Bildmenge, auch denen die nicht als Funktionswert realisiert werden.--Café Bene (Diskussion) 15:32, 2. Mai 2014 (CEST)

Bild entfernt

Bild 2: keine Funktion (höchstens eine Teilfunktion), da bei einer Funktion eine Zuordnungsvorschrift für alle Elemente der Menge X vorliegen muss. Das ist hier aber für 1 und 4 nicht der Fall.

ich habe das nebenstehende Bild (und den dazugehörigen Text) aus dem Artikel entfernt, da es sich nicht um eine Funktion handelt. Im Artikel geht es aber um die Zielmenge einer Funktion. Wasseralm 21:34, 25. Nov. 2007 (CET)

Anschauliches Beispiel überarbeitet

Hallo, ich habe den Abschnitt "Einfache Erklärung für Nichtmathematiker" umbenannt und kräftig gekürzt, da zuviele Wiederholungen von immer denselben Sachverhalten enthalten waren. Ich hoffe aber, die Intention des Abschnitts erhalten zu haben. Das Bild habe ich auch ausgetauscht, weil das bisherige einen speziellen Fall (nämlich eine injektive Funktion) zeigte, jetzt ist es eine allgemeine Funktion. Die Erwähnung des Urbildes habe ich entfernt, da das hier m. E. zu weit führt (es geht um die Zielmenge!) Wasseralm 22:04, 25. Nov. 2007 (CET)

Falsche Aussage?

Hallo, ich bin der Meinung (bin kein Mathematiker), dass die Aussage im Artikel "Funktionen mit gleichem Definitionsbereich und gleicher Funktionsvorschrift, aber verschiedener Zielmenge, können niemals gleich sein." falsch ist. Beispiel: Ich beziehe mich auf das Bildbeispiel im Artikel. Es gibt eine Funktionsvorschrift, die Menge A mit den Elementen 1,2,3 und 4, die Menge B mit den Elementen a,b,c und d und ich definiere zusätzlich noch die Menge C mit den Elementen b,c,d und e. Ich definiere nun die Funktion f mit Definitionsmenge A, Funktionsvorschrift wie auf Bild (im Artikel!) und Zielmenge B. Weiter definiere ich die Funktion g mit Definitionsmenge A, Funktionsvorschrift wie auf Bild und mit Zielmenge C. Jetzt habe ich also zwei Funktionen mit den gleichen Definitionsmengen, gleicher Funktionsvorschrift, gleicher Bildmenge aber mit unterschiedlicher Zielmenge (B ungleich C). Die Funktion bzw. das Abbild ist doch nun identisch, oder seh ich das falsch?! Bemerkung: Ich habe im "Taschenbuch mathematischer Formeln" von Bartsch Ausgabe 1994 nach einer Definition von Zielmenge gesucht, aber so wie es aussieht, gibt es dort diesen Begriff nicht auch die Begriffe injektiv und surjektiv existieren nicht. Sind wohl nicht alle Mathematiker gleicher Meinung. Ich denke auch die Bedingung, wenn zwei Funktionen gleich sind, ist wohl nicht einheitlich definiert?! mfg sx 19:21, 29. Nov. 2007 (GMT +1)

Hallo sx! Zu deinem Beispiel: Die Zielmenge gehört doch mit zum Abbild, und daher sind für deine zwei Funktionen f und g die Bilder nicht gleich. Zum Wort "Zielmenge": dieses wird durchaus verwendet, wie eine Google-Suche zeigt. Das Wort "Wertebereich" kommt allerdings häufiger vor. Wegen dessen Mehrdeutigkeit wird allerdings in der Wikipedia versucht, es zu vermeiden und Zielmenge zu verwenden. Gruß, Wasseralm 21:01, 29. Nov. 2007 (CET)

Quellmenge/Grundmenge

Es geht also um den Gegenpart von "Zielmenge". Was mal ganz gut wäre, ist, in der Literatur zu gucken, ob es einen etablierten Begriff für den Urbildvorrat gibt, von dem also die Definitionsmenge einer Funktion eine Teilmenge ist. Bei einer schnellen Suchaktion in der Mathe-Bibliothek fand ich bei ca. 10 Grundlagenbüchern nur in einem einzigen Buch aus den 1960ern (kein bekannter Autor) den Begriff "Quellmenge". Die anderen Bücher fangen einfach mit der Definitionsmenge an. Die Sache mit der Quellmenge hätte auch "axiomatisch" einen Sinn: Man muß absichern, dass die Definitionsmenge einer Funktion überhaupt existiert (sonst operiert man nur auf der leeren Menge) - und diese Existenz hat man idR dadurch, dass die Definitionsmenge Teilmenge einer existenten Menge ist, deren Existenz wiederum in letzter Instanz auf der von N fußt. --Stefan Neumeier 02:18, 23. Mai 2010 (CEST)

Zur Gleichheit von Funktionen

Um die Gleichheit von Funktionen untersuchen zu können, muss zunächst gesagt werden, was denn eigentlich eine Funktion ist. Oft findet man, eine Funktion sei ein Tripel bestehend aus einem Definitionsbereich, einer Zielmenge und einer Abbildungsvorschrift. Wenn das so wäre, so unerschieden sich Funktionen, die sich nur in ihrer Zielmenge unterscheiden. Das ist aber Quatsch, siehe Funktion (Mathematik), mengentheoretische Definition. (Frage: Was ist den eine Abbildungsvorschrift?, logisches Glatteis). Die Definition über Abbildungsvorschriften (Formeln oder beschreibende Texte) ist nicht dasselbe, denn davon kann es nur abzählbar viele geben.

Funktionen $f:A\rightarrow B$ sind Teilmengen des kartesichen Produktes $A\times B$ mit bestimmten Eigenschaften, das heißt, eine Funktion wird durch ihren Graphen definiert. Ist nun $C$ eine Obermenge von $B$ und definiert man $g:A\rightarrow C$ durch $g(a):=f(a)$ für alle $a\in A$, so gilt $f=g$, denn die definierenden Teilmengen in den kartesischen Produkten sind gleich, kurz, die beiden Funktionen haben dieselben Graphen. Die Funktion $f:A\rightarrow B$ ist in diesem Fall eben auch eine Funktion $f:A\rightarrow C$.

Ich werde daher die fragwürdigen Textstellen des Artikels auf diese Diskussionsseite kopieren.--FerdiBf 10:06, 29. Aug. 2010 (CEST)

Das ist der ursprüngliche fragwürdige Text:

Die Zielmenge ist ein unterscheidender Bestandteil einer Funktion. Funktionen mit gleichem Definitionsbereich und gleicher Funktionsvorschrift, aber verschiedener Zielmenge, können niemals gleich sein.

Beispiel

Die Funktion $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ ordnet jedem Punkt der euklidischen Ebene seinen Abstand vom Nullpunkt zu. Es gilt also:

$f(a,b)={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

Die Zielmenge der Funktion ist $\mathbb {R}$, die Menge der reellen Zahlen. Da der Abstand nie negativ sein kann, werden nicht alle möglichen Werte angenommen. Die Bildmenge besteht genau aus den nichtnegativen reellen Zahlen (oft mit $\mathbb {R} _{0}^{+}$ bezeichnet).

Die Funktion $g:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} _{0}^{+}$ mit $g(a,b):={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ hat denselben Definitionsbereich, dieselbe Funktionsvorschrift und dieselbe Bildmenge wie $f$. Da aber die Zielmengen verschieden sind, gilt trotzdem $f\neq g$.

Ende des Textes--FerdiBf 10:14, 29. Aug. 2010 (CEST)

Der "fragwürdige" Text ist völlig in Ordnung. Anscheinend sind bei Dir alle Funktionen irgendwie surjektiv? Was soll das?!? Schon in Linearer Algebra kommt man mit dieser Lesart ganz schön ins Schleudern! Und in Funktionalanalysis wirds ganz dunkel.

Die zitierte mengentheoretische Definition fängt mit Eine Funktion von der Menge D in die Menge Z... an, d.h. bei einer Funktion muss man D und Z von vornherein mit angeben. Anders gesagt: f ist ein Tripel (D,Z,M), wobei M eine Teilmenge von D kreuz Z ist und M gewisse Eigenschaften (à la Linkstotalität, Rechtseindeutigkeit) hat.

Und ob man eine Abbildungsvorschrift statt der konkreten Teilmenge M aus D kreuz Z angibt, ist kein logisches Glatteis, sondern eine konstruktive Methode, um M zu beschreiben.

Im übrigen ist das Ganze schon weiter oben in Diskussion:Zielmenge#Falsche_Aussage.3F beredet worden.

Für Deine Aussagen bestelle ich jetzt mal nen Beleg von Dir. Sonst setze ich den "fragwürdigen" Text wieder in den Artikel zurück. --Stefan Neumeier 02:26, 1. Okt. 2010 (CEST)

Ich sehe das erst jetzt... Ich empfehle dringend die Lektüre des Lemmas Definitionsmenge, insbesondere, was dort zum Begriff der Funktion gesagt wird. Vor allem ist eine Funktion eine Relation mit bestimmten Eigenschaften, und Relationen sind als Tripel gegeben. Ich warte jetzt noch ein paar Tage und mache dann den angekündigten Revert. --Stefan Neumeier 15:37, 1. Okt. 2010 (CEST)

Ich sehe keinen Grund zum Warten und habe den Revert gleich gemacht sowie einen Beleg dazu angeführt. --NeoUrfahraner 18:40, 1. Okt. 2010 (CEST)

Wir streiten hier um Begriffe. Unstrittig ist, dass eine Funktion $f:A\rightarrow B$ eine Relation und damit eine Teilmenge von $A\times B$ ist (Relationen sind keine Tripel). Diese kann surjektiv sein als Funktion von A nach B oder nicht, als Funktion auf ihr Bild ist sie stets surjektiv und $f$ ist sowohl Element in $B^{A}$ als auch in $bild(f)^{A}$. In obigem fragwürdigen Text ist offenbar $f=g$, beide Funktionen bestehen aus genau denselben Paaren reeller Zahlen und sind daher als Mengen gleich. Wer hier f ungleich g sieht, der redet nicht über Funktionen sondern über Morphismen in der Kategorie Meng aller Mengen. Dort fordert man, dass Mor(A,B) und Mor(C,D) disjunkt sind, wenn $A\not =B$ oder $C\not =D$, und das bewerkstelligt man dadurch, dass man als Morphismen nicht Funktionen $f:A\rightarrow B$ betrachtet (auch wenn das salopp oft so formuliert wird), sondern Tripel $(f,A,B)$. In der Kategorie Meng wird man daher f und g aus obigem fragwürdigen Text als verschieden ansehen, aber nur deshalb, weil man nicht f und g sondern die Tripel $(f,\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ und $(g,\mathbb {R} ,\mathbb {R} _{0}^{+})$ betrachtet. Jedenfalls halte ich die Aussage aus der Einleitung, dass zwei Funktionen, die sich nur in ihrer Zielmenge unterscheiden, niemals gleich sein können, für nicht korrekt. Ich möchte hier keinen Streit vom Zaun brechen, schon gar keinen um Begriffe. Ich gebe aber zu bedenken, dass Funktionen als Mengen definiert sind (siehe auch die verwendete Verlinkung Funktion (Mathematik)) und das in obigem fragwürdigen Text die Gleichheit $f=g$ (Mengen geordeneter Paare reeller Zahlen) außer Frage steht. Ich bin kein Freund gegenseitiger Reverts, daher lasse ich den Artikel erst einmal so stehen und warte Eure Reaktion ab.--FerdiBf 11:39, 18. Mär. 2011 (CET)

1. Woher kommt Deine Behauptung, Relationen wären keine Tripel?
2. Grundsätzlich geht es hier um Definitionen. Definitionen sind weder richtig noch falsch, sondern sinnvoll oder nicht sinnvoll.
3. Die Begriffe surjektiv, injektiv, bijektiv etc. sind in der Mathematik wichtige Begriffe. Surjektiv, injektiv, bijektiv etc. sind jedenfalls Eigenschaften des Tripels (Graph, Definitionsmenge, Zielmenge) und keine Eigenschaften des Graphen alleine. Wir brauchen also einen Namen für das Tripel.
4. Wenn Du jetzt nur den Graphen alleine "Funktion" nennen willst, wie nennst Du dann das Tripel? --NeoUrfahraner 00:13, 19. Mär. 2011 (CET)

Ergänzung. Um mal von wahr und falsch abzulenken: Es kann je nach verwendeter Logik auch sein, dass die Frage $f=g$? für $f:A\to X$, $g:A\to Y$ und $X\neq Y$ schlichtweg illegal/nicht formulierbar ist. Als Einstieg z.B. rumbrowsen ab hier: en:Intuitionistic_type_theory#Equality_type. --Daniel5Ko 00:41, 19. Mär. 2011 (CET)

1. Das ist so in der Mengenlehre, bei Strukturen schleppt man die Quell- und Zielmenge oft mit. 2. Ich habe ja bereits gesagt, dass es sich wohl um einen Streit um Begriffe handelt, und den möchte ich nicht ausfechten. 3. Das ist so bei Strukturen (Kategorientheorie), wie eingeräumt. 4. Morphismus oder Abbildung? wie gesagt, in der Mengenlehre ist eine Funktion nichts anderes als ihr Graph. -- Auch ich bin der Meinung, dass Definitionen nicht richtig oder falsch sein können. Sie können vielleicht unzweckmäßig oder in der Literatur nicht einheitlich sein. Ersteres ist Geschmackssache und letzteres liegt hier offenbar vor. Und damit sollten wir es bewenden lassen!--FerdiBf 20:47, 21. Mär. 2011 (CET)

Ad 1: "Das ist so" ist kein wirkliches Argument. Ich habe jedenfalls immer gelernt, dass auch Relationen Tripel wären. Auch für die Definition von reflexiv braucht man ja die Angabe der Quellmenge. --NeoUrfahraner 23:45, 21. Mär. 2011 (CET)

Wegen der von mir kürzlich revertierten Änderung mal noch ein pragmatisches Argument für die Unterscheidung zwischen (bzw. die Unvergeichbarkeit von) Funktionen mit unterschiedlichen Zielmengen: Man kann die Unterscheidung später durch eine geeignete Äquivalenzrelation für irrelevant erklären. Umgekehrt geht das nicht so toll: Hat man erstmal Dinge ununterscheidbar gemacht, die vielleicht eigentlich doch unterscheidbar sein sollten, gibt es keine vernünftige Möglichkeit, Unterscheidungen nachträglich (wieder-)einzubauen. --Daniel5Ko 00:08, 9. Mai 2011 (CEST)

"Zielmenge einer Relation"

Dieser Artikel definiert nur, was man unter einer Zielmenge einer Funktion zu verstehen hat. Mit Bezug auf den Artikel Definitionsmenge#Definitionsbereich_einer_Relation, ist es in der Mathematik gebräuchlich, von der Zielmenge einer Relation zu sprechen, und wenn ja, wie lautet deren Definition? Danke, --Abdull 19:23, 8. Sep. 2010 (CEST)

Ja, es gibt auch die Zielmenge einer Relation; siehe dazu Relation (Mathematik). --NeoUrfahraner 18:44, 1. Okt. 2010 (CEST)