Eschenburg-Raum

Eschenburg-Räume sind eine wichtige Klasse von Beispielen im mathematischen Gebiet der Differentialgeometrie. Sie sind die einfachsten nicht-homogenen Beispiele positiv gekrümmter Mannigfaltigkeiten.

Konstruktion

Die Eschenburg-Räume entstehen als Biquotienten einer Links- und Rechtswirkung der Kreisgruppe auf der speziellen unitären Gruppe $SU(3)$.

Seien $k=(k_{1},k_{2},k_{3})$ und $l=(l_{1},l_{2},l_{3})$ Tripel ganzer Zahlen mit $k_{1}+k_{2}+k_{3}=l_{1}+l_{2}+l_{3}$. Dann betrachtet man die zweiseitige Wirkung von $S^{1}=\left\{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\right\}$ auf der Lie-Gruppe $SU(3)$, die durch Linksmultiplikation mit der Diagonalmatrix $\operatorname {diag} (z^{k_{1}},z^{k_{2}},z^{k_{3}})$ und Rechtsmultiplikation mit $\operatorname {diag} (z^{l_{1}},z^{l_{2}},z^{l_{3}})$ wirkt. Der Biquotient dieser Wirkung ist der Eschenburg-Raum

$E_{kl}=\operatorname {diag} (z^{k_{1}},z^{k_{2}},z^{k_{3}})\backslash SU(3)/\operatorname {diag} (z^{l_{1}},z^{l_{2}},z^{l_{3}})$.

Die Wirkung ist genau dann eine freie Wirkung, wenn $\operatorname {diag} (z^{k_{1}},z^{k_{2}},z^{k_{3}})$ nicht zu $\operatorname {diag} (z^{l_{1}},z^{l_{2}},z^{l_{3}})$ konjugiert ist, also wenn

$kgV(k_{1}-l_{1};k_{2}-l_{2})=1,\ kgV(k_{1}-l_{2};k_{2}-l_{1})=1,\ kgV(k_{1}-l_{1};k_{2}-l_{3})=1,$

$kgV(k_{1}-l_{2};k_{2}-l_{3})=1,\ kgV(k_{1}-l_{3};k_{2}-l_{1})=1,\ kgV(k_{1}-l_{3};k_{2}-l_{2})=1$

gilt.

Für $l=(0,0,0)$ erhält man die Aloff-Wallach-Räume.

Eigenschaften

Die von einer gewissen links-invarianten Metrik der $SU(3)$ auf $E_{kl}$ induzierte Metrik hat genau dann positive Schnittkrümmung, wenn

$k_{i}\notin \left[\min(l_{1},l_{2},l_{3}),\ \max(l_{1},l_{2},l_{3})\right]$ für $i=1,2,3$

gilt.

Es gibt eine Reihe von Diffeomorphismen zwischen Eschenburg-Räumen. So induziert jede Permutation der Einträge in $k$ oder $l$ eine diffeomorphe Mannigfaltigkeit. Es gilt $E_{kl}\simeq E_{lk}$ und es gibt einen (orientierungs-umdrehenden) Diffeomorphismus zwischen $E_{kl}$ und $E_{-k,-l}$. Weiterhin erzeugt die Addition derselben ganzen Zahl zu allen Einträgen von $k$ und $l$ einen diffeomorphen Raum.

Die Isometrie-Gruppe eines Eschenburg-Raumes hat Rang $3$.

Insbesondere hat jeder Eschenburg-Raum positiver Schnittkrümmung eine eindeutige Darstellung $E_{kl}$ mit

$k=(k_{1},k_{2},l_{1}+l_{2}-k_{1}-k_{2})$

$l=(l_{1},l_{2},0)$

$k_{1}\geq k_{2}>l_{1}\geq l_{2}\geq 0$.

Für die Kohomologiegruppen gilt

$H^{1}(E_{kl})=0,H^{2}(E_{kl})=\mathbb {Z}$

$H^{3}(E_{kl})=0,H^{4}(E_{kl})=\mathbb {Z} /r\mathbb {Z}$

mit $r=\vert k_{1}k_{2}+k_{1}k_{3}+k_{2}k_{3}-l_{1}l_{2}-l_{1}l_{3}-l_{2}l_{3}\vert$. Der Erzeuger von $H^{4}$ ist das Quadrat des Erzeugers von $H^{2}$.

Literatur

• J.-H. Eschenburg: New examples of manifolds with strictly positive curvature, Invent. Math. 66, 469-480 (1982)
• K. Shankar: Strong inhomogeneity of Eschenburg spaces, Mich. Math. J. 50, 125-141 (2002)
• L. Astor, E. Micha, G. Pastor: On the homotopy type of Eschenburg spaces with positive sectional curvature, Proc. AMS 132, 3725–3729 (2004)
• B. Krüggel: Homeomorphism and diffeomorphism classification of Eschenburg spaces, Quart. J. Math. 56, 553-577 (2005)
• K. Grove, K. Shankar, W. Ziller: Symmetries of Eschenburg spaces and the Chern problem, Asian J. Math. 10, 647-661 (2006)
• T. Chinburg, C. Escher, W. Ziller: Topological properties of Eschenburg spaces and 3-Sasakian manifolds, Math. Ann. 339, 3-20 (2007)