Fünfecksatz

Der Fünfecksatz, englisch Pentagon theorem, ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der euklidischen Geometrie. Er behandelt eine Eigenschaft gewisser Fünfecke im $3$-dimensionalen euklidischen Raum.

Formulierung des Satzes

Der Satz besagt folgendes:

Bilden fünf gleich lange Vektoren im $\mathbb {R} ^{3}$ ein geschlossenes Fünfeck derart, dass die von diesen Vektoren eingeschlossenen Winkel ebenfalls gleich sind, so sind sie komplanar.

In Kurzform:

Ein räumliches Fünfeck mit lauter gleich großen Winkeln und Seiten ist notwendigerweise ein ebenes geometrisches Gebilde.

Anmerkungen

1. Der im Fünfecksatz dargestellte Sachverhalt lässt sich weder auf Vierecke noch auf Vielecke mit sechs oder mehr Eckpunkten übertragen: Hier findet man solche Vielecke mit lauter gleich großen Winkeln und Seiten, deren Eckpunkte dennoch nicht in einer Ebene liegen.
2. Ostermann und Wanner nennen den Satz auch als Fünfecksatz von van der Waerden (englisch van der Waerden’s pentagon theorem). Der erste strenge Beweis des Satzes soll jedoch nicht in der im Jahre 1970 von Bartel Leendert van der Waerden vorgelegten Arbeit (s. u.) gegeben worden sein, sondern schon im Jahre 1961 in einer russischen Fachzeitschrift, nachdem der Satz durch ein im Jahre 1957 von dem russischen Mathematiker Wladimir Igorewitsch Arnold gestelltes Problem nahegelegt worden war. Van der Waerden selbst wurde auf den Satz aufmerksam durch Gespräche mit dem britischen Chemiker Jack D. Dunitz. Von Chemikern war die Gültigkeit des Fünfecksatzes nach Untersuchungen der Arsenverbindungen (AsCH₃)_n offenbar schon lange vermutet worden.
3. Einen kurzen elementaren Beweis des Satzes mittels Volumenberechnungen unter Benutzung der gramschen Determinante legte im Jahre 1972 der Mathematiker Stanislav Šmakal vor.
4. Voneinander unabhängig fanden die beiden Mathematiker Gerrit Bol und Harold Scott MacDonald Coxeter im Jahre 1970 einen eleganten Beweis des Fünfecksatzes, welcher auf dem von Leonhard Euler gegebenen Satz basiert, dass die orientierungserhaltenden orthogonalen Abbildungen des $3$-dimensionalen euklidischen Raum auf sich exakt den Raumdrehungen entsprechen.

Quellen und Literatur

• Alexander Ostermann, Gerhard Wanner: Geometry by Its History (= Undergraduate Texts in Mathematics. Readings in Mathematics). Springer Verlag, Heidelberg, New York, Dordrecht, London 2012, ISBN 978-3-642-29162-3, S. 69, doi:10.1007/978-3-642-29163-0 (MR2918594). 
• S. Šmakal: Eine Bemerkung zu einem Satz über räumliche Fünfecke. In: Elemente der Mathematik. Band 27, 1972, S. 62–63 (MR0333916). 
• B. L. van der Waerden: Ein Satz über räumliche Fünfecke. In: Elemente der Mathematik. Band 25, 1970, S. 73–78 (MR0266026).