Farey-Graph
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In der Mathematik ist der Farey-Graph ein unendlicher Graph, der zahlreiche Anwendungen in der Zahlentheorie und anderen Gebieten der Mathematik besitzt.
Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die Knotenmenge des Farey-Graphen ist , also die Menge aller Paare
- ,
wobei als aufgefasst wird.
Zwei Knoten und sind genau dann durch eine Kante verbunden, wenn
gilt.[1]
Anwendungen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Farey-Folgen werden durch Farey-Diagramme beschrieben, der Farey-Graph ist die Vereinigung aller Farey-Diagramme.
- In der Theorie der Kettenbrüche wird der Farey-Graph verwendet, um zu beweisen, dass jeder periodische Kettenbruch eine quadratische Irrationalzahl ist.
- Die Modulgruppe und ihr Quotient wirken durch gebrochen-lineare Transformationen auf und bilden dabei adjazente Knoten des Farey-Graphen wieder auf adjazente Knoten ab.
- Die Einbettung des Farey-Graphen in die Kompaktifizierung der hyperbolischen Ebene mittels der Identifizierung und Realisierung der Kanten als Geodäten gibt die Farey-Tesselation der hyperbolischen Ebene.
- Die Coxeter-Gruppe (d. h. die Spiegelungsgruppe eines idealen Dreiecks) wirkt auf dem Fareygraphen durch
- ,
- jedes der Dreiecke der Farey-Tesselation ist ein Fundamentalbereich der Wirkung von auf der hyperbolischen Ebene.
- Der Kurvenkomplex des punktierten Torus ist der Farey-Graph, die Wirkung der Abbildungsklassengruppe auf dem Kurvenkomplex ist die Wirkung von auf dem Farey-Graphen.[2]
Weblinks
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- The Farey diagram (PDF; 675 kB)
- Distance formula in Farey graph