Farey-Graph

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Farey-Graph

In der Mathematik ist der Farey-Graph ein unendlicher Graph, der zahlreiche Anwendungen in der Zahlentheorie und anderen Gebieten der Mathematik besitzt.

Die Knotenmenge des Farey-Graphen ist , also die Menge aller Paare

,

wobei als aufgefasst wird.

Zwei Knoten und sind genau dann durch eine Kante verbunden, wenn

gilt.[1]

  • Farey-Folgen werden durch Farey-Diagramme beschrieben, der Farey-Graph ist die Vereinigung aller Farey-Diagramme.
  • In der Theorie der Kettenbrüche wird der Farey-Graph verwendet, um zu beweisen, dass jeder periodische Kettenbruch eine quadratische Irrationalzahl ist.
  • Die Modulgruppe und ihr Quotient wirken durch gebrochen-lineare Transformationen auf und bilden dabei adjazente Knoten des Farey-Graphen wieder auf adjazente Knoten ab.
  • Die Einbettung des Farey-Graphen in die Kompaktifizierung der hyperbolischen Ebene mittels der Identifizierung und Realisierung der Kanten als Geodäten gibt die Farey-Tesselation der hyperbolischen Ebene.
  • Die Coxeter-Gruppe (d. h. die Spiegelungsgruppe eines idealen Dreiecks) wirkt auf dem Fareygraphen durch
,
jedes der Dreiecke der Farey-Tesselation ist ein Fundamentalbereich der Wirkung von auf der hyperbolischen Ebene.

Einzelnachweise

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  1. The boundary of the Gieseking tree in hyperbolic 3-space, Kapitel 3
  2. The train track complex of the once punctured torus and the four punctured sphere