Fermat-Catalan-Vermutung

Die Fermat-Catalan-Vermutung ist eine offene Vermutung der Zahlentheorie.

Sie hat ihren Namen daher, dass ihre Formulierung Ideen der Fermat-Vermutung und Catalanschen Vermutung umfasst. Die Vermutung besagt, dass es nur endlich viele Lösungen $a,b,c,m,n,k\in \mathbb {N}$ gibt mit

$a^{m}+b^{n}=c^{k}$,

wobei $a,b,c$ koprim zueinander sind und

${\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1$.

Letztere Bedingung schließt die pythagoräischen Tripel ($m=n=k=2$ mit unendlich vielen Lösungen) aus und einige weitere Fälle mit unendlich vielen Lösungen. Die Ungleichung ${\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}>1$ wird genau erfüllt von $(m,n,k)=(2,2,k),(2,3,3),(2,3,4),(2,3,5)$ und Permutationen, jeweils mit unendlich vielen Lösungen, und ${\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}=1$ von $(m,n,k)=(2,4,4),(2,3,6),(3,3,3)$ (mit Permutationen), mit jeweils endlich vielen Lösungen.

Der Fall der inzwischen bewiesenen Catalan-Vermutung ist der, bei dem eines der $a,b,c$ gleich $1$ ist. Die einzige Lösung ist nach der Vermutung

$1^{m}+2^{3}=3^{2}\;$.

Streng genommen liefern unendlich viele $m>6$ eine Lösung, doch wird dies ebenfalls als trivialer Sonderfall ausgeschlossen.

Nichttriviale Lösungen der Fermat-Catalan-Gleichung

Bekannt sind die nach dem Stand von 2015 die folgenden Lösungen:

$2^{5}+7^{2}=3^{4}\;$

$13^{2}+7^{3}=2^{9}\;$

$2^{7}+17^{3}=71^{2}\;$

$3^{5}+11^{4}=122^{2}\;$

$33^{8}+1549034^{2}=15613^{3}\;$

$1414^{3}+2213459^{2}=65^{7}\;$

$9262^{3}+15312283^{2}=113^{7}\;$

$17^{7}+76271^{3}=21063928^{2}\;$

$43^{8}+96222^{3}=30042907^{2}\;$

Die letzten und größten fünf Lösungen der Liste stammen von Frits Beukers und Don Zagier.

Gesicherte Resultate

Nach einem auf dem Satz von Faltings beruhenden Satz von Henri Darmon und Andrew Granville gibt es zu festen $n,m,k$ nur endlich viele Lösungen. Die Fermat-Catalan-Vermutung behauptet die Endlichkeit aber auch für unendlich viele mögliche Exponenten.

Die Fermat-Catalan-Vermutung folgt aus der abc-Vermutung.

Nach der Vermutung von Andrew Beal muss einer der Exponenten in der Fermat-Catalan-Vermutung $2$ sein.

Spezielle Werte der Exponenten

Die Endlichkeit der Lösungen wurde für spezielle Kombinationen von Exponenten $(m,n,k)$ der Vermutung untersucht, darunter:

• (2, 3, 7) von Bjorn Poonen u. a. (2005)
• Die von Andrew Wiles bewiesene Fermatvermutung behandelt den Fall (k, k, k) mit keiner Lösung für $k\geq 3$
• Henri Darmon und Loïc Merel behandelten den Fall (k,k,2) und (k, k, 3) und zeigten, dass es keine Lösungen für (k, k, 3), $k\geq 3$ gibt und für (k, k, 2) für $k\geq 4$.
• (2n, 2n, 5) von Michael Bennett
• (2,4,n) von Jordan S. Ellenberg, Ellenberg/Bennett/Ng und Bruin und (2, n, 4) von Bennett und Bennett/Skinner
• (2,6,n) von Bennett/Chen und Bruin
• (2, n, 6), (3,3,2n), (3,6,n), (2, 2n, k) für k= 9, 10 oder 15, (4, 2n, 3) von Bennett, I. Chen, S. Dahmen, S. Yazdani
• (2,4,7) von Ghioca
• (2,3,8), (2,3,9), (2,4,5), (2,4,6), (3,3,4), (3,3,5) von Bruin (2004)
• (5,5,7), (7,7,5) von Dahmen/Siksek
• (3,4,5) Siksek/Stoll

Henri Darmon (2012) verfolgt ein Programm der Verallgemeinerung der Frey-Kurve des Fermatproblems (zu Frey-Abel-Varietäten), um die verallgemeinerten Fermat-Gleichungen $(p,p,r)$ zu untersuchen (mit $r>3$).

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Fermat-Catalan Conjecture. In: MathWorld (englisch).