Fox-Ableitung

In der Mathematik ist die Fox-Ableitung, die Fox-Derivation, der Fox-Kalkül oder die Freie Differentialrechnung ein algebraisches Konstrukt in der Theorie der freien Gruppen. In vielen Punkten hat es Ähnlichkeiten zum Konzept der Ableitungen analytischer Funktionen, doch ein wesentlicher Unterschied ist die Tatsache, dass freie Gruppen im Allgemeinen nicht kommutativ sind im Gegensatz zu den reellen Zahlen. Der Fox-Kalkül wurde von Ralph Fox in den Annalen der Mathematik im Jahr 1953 eingeführt.

Es handelt sich um eine spezielle Derivation, mit einer leichten Abwandlung der Leibniz-Regel

$D(ab)=D(a)\epsilon (b)+aD(b),\quad a,b\in G$

wobei $\epsilon \colon \mathbb {Z} G\to \mathbb {Z}$ die Augmentationsabbildung vom Gruppenring in den Ring ist.

Definition

Für eine freie Gruppe $G$ mit neutralem Element $e$ und Generatoren $g_{i}$ ist die Fox-Ableitung eine Menge von Abbildungen von der Gruppe $G$ in den Gruppenring $\mathbb {Z} G$. Für jeden Generator $g_{i}$ gibt es eine solche Abbildung ${\frac {\partial }{\partial g_{i}}}$. Sie erfüllt die folgenden Axiome:

• ${\frac {\partial }{\partial g_{i}}}(g_{j})=\delta _{ij}$, wobei $\delta _{ij}$ das Kronecker-Delta ist
• ${\frac {\partial }{\partial g_{i}}}(e)=0$
• ${\frac {\partial }{\partial g_{i}}}(uv)={\frac {\partial }{\partial g_{i}}}(u)+u{\frac {\partial }{\partial g_{i}}}(v)$ für Elemente $u$ und $v$ aus $G$.

Die beiden ersten Axiome gelten auch in der gewöhnlichen Differentialrechnung, wohingegen das dritte eine leichte Abwandlung der Produktregel ist. Man kann zudem aus diesen Axiomen die folgende Regel für die Fox-Ableitung inverser Gruppenelemente herleiten:

• ${\frac {\partial }{\partial g_{i}}}(u^{-1})=-u^{-1}{\frac {\partial }{\partial g_{i}}}(u)$ für ein Element $u$ aus $G$

Anwendungen

Die Fox-Ableitung hat insbesondere Anwendung in den Gebieten Gruppenkohomologie, Knotentheorie und Überlagerungstheorie. Ein konkretes Beispiel des Nutzen der Fox-Ableitung in der Topologie ist der Beweis, dass der klassifizierende Raum einer Gruppe mit nur einer Relation, die keine Potenz eines Gruppenelements ist, ein spezieller zweidimensionaler CW-Komplex ist.

Siehe auch

• Gruppenring
• Freie Gruppe
• Ring (Algebra)
• Präsentation einer Gruppe
• Derivation (Mathematik)

Literatur

• Kenneth S. Brown: Cohomology of Groups (= Graduate Texts in Mathematics. Band 87). Springer Verlag, 1972, ISBN 0-387-90688-6 (englisch). 
• Ralph Fox: Free Differential Calculus, I: Derivation in the Free Group Ring. In: Annals of Mathematics. 57. Jahrgang, Nr. 3, Mai 1953, S. 547–560, doi:10.2307/1969736, JSTOR:1969736 (englisch). 
• Ralph Fox: Free Differential Calculus, II: The Isomorphism Problem of Groups. In: Annals of Mathematics. 59. Jahrgang, Nr. 2, März 1954, S. 196–210, doi:10.2307/1969686, JSTOR:1969686 (englisch). 
• Ralph Fox: Free Differential Calculus, III: Subgroups. In: Annals of Mathematics. 64. Jahrgang, Nr. 2, November 1956, S. 407–419, doi:10.2307/1969592, JSTOR:1969592 (englisch). 
• Kuo-Tsai Chen, Ralph Fox, Roger Lyndon: Free Differential Calculus, IV: The Quotient Groups of the Lower Central Series. In: Annals of Mathematics. 68. Jahrgang, Nr. 1, Juli 1958, S. 81–95, doi:10.2307/1970044, JSTOR:1970044 (englisch). 
• Ralph Fox: Free Differential Calculus, V: The Alexander Matrices Re-Examined. In: Annals of Mathematics. 71. Jahrgang, Nr. 3, Mai 1960, S. 408–422, doi:10.2307/1969936, JSTOR:1969936 (englisch).