Fraktionaler Laplace-Operator
In der Mathematik ist der fraktionale Laplace-Operator ein Operator, der die Vorstellung der räumlichen Ableitungen des Laplace-Operators auf fraktionale Potenzen verallgemeinert. Dieser Operator wird oft verwendet, um bestimmte Arten von partiellen Differentialgleichungen zu verallgemeinern. Zwei Beispiele sind [1] und [2], bei denen bekannte partielle Differentialgleichungen, die den Laplace-Operator enthalten, durch die fraktionale Version ersetzt werden.
In der Literatur variiert die Definition des fraktionalen Laplace-Operators oft, aber meistens sind diese Definitionen äquivalent. Im Folgenden findet sich eine kurze Übersicht, die von M. Kwaśnicki bewiesen wurde.[3]
Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Sei , und .
Fourier-Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Wenn wir uns weiter auf , beschränken, erhalten wir
Diese Definition verwendet die Fourier-Transformation für . Diese Definition kann auch durch das Bessel-Potential auf alle erweitert werden.
Integraloperator
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Der Laplace-Operator kann auch als ein singulärer Integraloperator betrachtet werden, der durch den folgenden Grenzwert in definiert ist.
Generator der stark stetigen Halbgruppe
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Mithilfe der fraktionalen Wärme-halbgruppe, das die Familie der Operatoren darstellt, können wir den fraktionalen Laplace-Operator durch dessen Generator definieren.
Es ist zu beachten, dass der Generator nicht der fraktionale Laplace-Operator ist, sondern dessen Negativ . Der Operator ist definiert durch
,
wobei die Faltung zweier Funktionen ist und .
Harmonische Erweiterung
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wobei
Siehe auch
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Weblinks
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Fractional Laplacian. Nonlocal Equations Wiki, Department of Mathematics, The University of Texas at Austin.
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Christof Melcher, Zisis N. Sakellaris: Global dissipative half-harmonic flows into spheres: small data in critical Sobolev spaces. In: Communications in Partial Differential Equations. 44. Jahrgang, Nr. 5, 4. Mai 2019, ISSN 0360-5302, S. 397–415, doi:10.1080/03605302.2018.1554675, arxiv:1806.06818 (englisch, tandfonline.com).
- ↑ Jerome D. Wettstein: Half-harmonic gradient flow: aspects of a non-local geometric PDE. In: Mathematics in Engineering. 5. Jahrgang, Nr. 3, 2023, ISSN 2640-3501, S. 1–38, doi:10.3934/mine.2023058, arxiv:2112.08846 (englisch, aimspress.com).
- ↑ Mateusz Kwaśnicki: Ten equivalent definitions of the fractional Laplace operator. In: Fractional Calculus and Applied Analysis. 20. Jahrgang, 2017, doi:10.1515/fca-2017-0002, arxiv:1507.07356 (englisch).