Freudenthalscher Einhängungssatz

Der Freudenthal'sche Einhängungssatz ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie, er bildet eine Grundlage für die stabile Homotopietheorie.

Die Aussage ist die folgende:

Sei $n\geq 0$ und $X$ ein $n$-zusammenhängender CW-Komplex. Dann ist die von der Einhängung induzierte Abbildung

$\pi _{r}(X)\to \pi _{r+1}(\Sigma X)$

für $1\leq r\leq 2n$ ein Isomorphismus und für $r=2n+1$ surjektiv.

Für die stabilen Homotopiegruppen $\pi _{*}^{s}(X)$ folgt daraus, dass

$\pi _{r}(X)\to \pi _{r}^{s}(X)$

für $1\leq r\leq 2n$ ein Isomorphismus und für $r=2n+1$ surjektiv ist.

Verallgemeinerung: Sei $n\geq 0$ und $X$ ein $n$-zusammenhängender CW-Komplex. Sei $Y$ ein endlicher CW-Komplex mit $H^{q}(Y)=0$ für $q>2n$. Dann ist

$\left[Y,X\right]\to \left[\Sigma ^{k}Y,\Sigma ^{k}X\right]$

für alle $k\geq 0$ eine Bijektion zwischen den Mengen der Homotopieklassen.

Literatur

• Robert M. Switzer: Algebraic Topology – Homology and Homotopy. Springer, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42750-3 (Classics in Mathematics).

Weblinks

• Tengren Zhang: Freudenthal Suspension Theorem