Geränderte Hesse-Matrix

Die geränderte Hesse-Matrix (engl. bordered Hessian) dient zur Klassifikation von stationären Punkten bei mehrdimensionalen Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen. Sie ist mit der „normalen“ Hesse-Matrix verwandt. Im Gegensatz zur Hesse-Matrix, welche auf positive bzw. negative Definitheit untersucht wird, ist bei der geränderten Hesse-Matrix das Vorzeichen der Determinante entscheidend.

Entscheidend ist die Vorzeichenfolge der führenden Hauptminoren, wobei gilt, dass man lediglich die k führenden Hauptminoren untersucht, für die gilt: $k>2m$ (m Anzahl der Nebenbedingungen). Untersucht man beispielsweise eine Funktion nach Variablen mit einer Nebenbedingung, muss man $k>2\cdot 1\rightarrow k>2$ betrachten, also erst die Vorzeichen ab dem 3. führenden Hauptminor (siehe auch nachfolgendes Beispiel).

Sei $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ offen. Die Funktion $f:U\rightarrow \mathbb {R}$ sei zweimal stetig differenzierbar und sie habe in $a\in U$ ein lokales Extremum unter der Nebenbedingung $F=0$ , wobei $F=(F_{1},\ldots ,\,F_{m}):U\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ mit $m<n$ . Sei nun

L(\lambda _{1},\ldots ,\,\lambda _{m},\,x):=f(x)-\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}F_{i}(x)

die Lagrange-Funktion mit der Abkürzung $x$ für $x_{1},\ldots ,\,x_{n}$ . Dann versteht man unter der geränderten Hesseschen Matrix die $(n+m)\times (n+m)$ -Matrix

{\begin{aligned}\operatorname {\overline {H}} ({\bar {\lambda }},\,a)&:=\left({\begin{array}{cccccc}{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \lambda _{1}^{2}}}&\ldots &{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \lambda _{1}\partial \lambda _{m}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \lambda _{1}\partial x_{1}}}&\ldots &{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \lambda _{1}\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \lambda _{m}\partial \lambda _{1}}}&\ldots &{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \lambda _{m}^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \lambda _{m}\partial x_{1}}}&\ldots &{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \lambda _{m}\partial x_{n}}}\\{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}\partial \lambda _{1}}}&\ldots &{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}\partial \lambda _{m}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}^{2}}}&\ldots &{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}\partial x_{n}}}\\\vdots &&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{n}\partial \lambda _{1}}}&\ldots &{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{n}\partial \lambda _{m}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{n}\partial x_{1}}}&\ldots &{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{n}^{2}}}\end{array}}\right)({\bar {\lambda }},\,a)\\\end{aligned}}

bzw. bereits vereinfacht

{\begin{aligned}\operatorname {\overline {H}} ({\bar {\lambda }},\,a)&:=\left({\begin{array}{cccccc}0&\ldots &0&-{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{1}}}&\ldots &-{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&\ldots &0&-{\frac {\partial F_{m}}{\partial x_{1}}}&\ldots &-{\frac {\partial F_{m}}{\partial x_{n}}}\\-{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{1}}}&\ldots &-{\frac {\partial F_{m}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}^{2}}}&\ldots &{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}\partial x_{n}}}\\\vdots &&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{n}}}&\ldots &-{\frac {\partial F_{m}}{\partial x_{n}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{n}\partial x_{1}}}&\ldots &{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{n}^{2}}}\end{array}}\right)({\bar {\lambda }},\,a)\end{aligned}}

mit ${\bar {\lambda }}={\bar {\lambda }}_{1},\ldots ,\,{\bar {\lambda }}_{m}$ den zugehörigen Lösungen der Hilfsgrößen.

Form (2-dimensionaler Fall)

Für eine zweidimensionale Funktion mit einer Nebenbedingung hat die geränderte Hesse-Matrix folgende Gestalt.

Sei $L(x_{1},x_{2})=f(x_{1},x_{2})+\lambda g(x_{1},x_{2})$ die Lagrangefunktion, wobei $f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ,(x_{1},x_{2})\mapsto f(x_{1},x_{2})$ eine beliebige zweidimensionale Funktion und $g(x_{1},x_{2})=0\,$ die Nebenbedingung ist, unter welcher optimiert werden soll.

\operatorname {\bar {H}} (x)={\begin{pmatrix}0&g_{x1}&g_{x2}\\g_{x1}&L_{x1x1}&L_{x1x2}\\g_{x2}&L_{x2x1}&L_{x2x2}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&{\frac {\partial g}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial g}{\partial x_{2}}}\\[1.5ex]{\frac {\partial g}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\\[1.5ex]{\frac {\partial g}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{2}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}L}{\partial x_{2}^{2}}}\\\end{pmatrix}}

Die $0$ auf der Position oben links in der Matrix kommt durch $\operatorname {\bar {H}} _{11}={\frac {\partial ^{2}L}{\partial \lambda ^{2}}}$ zustande.