Hill/Huntington-Verfahren

Das Hill/Huntington-Verfahren (auch: Divisorverfahren mit geometrischer Rundung; in den USA: equal proportions (EP) method) ist eine Methode der proportionalen Repräsentation (Sitzzuteilungsverfahren), wie sie z. B. bei bevölkerungsproportionaler Sitzaufteilung auf regionale Distrikte oder bei stimmenproportionaler Sitzzuteilung an zur Wahl stehende Parteien (siehe Verhältniswahl) benötigt wird.

Geschichte

Der Chef-Statistiker der US-amerikanischen Zensusbehörde Joseph Adna Hill schlug das Verfahren 1911 vor, um die Sitze des Repräsentantenhauses im Verhältnis der Bevölkerungsanteile auf die Bundesstaaten zu verteilen. Edward Vermilye Huntington, Mathematikprofessor und mit Hill seit Studienzeiten bekannt, übernahm die Idee und propagierte sie unter der gewinnenden Bezeichnung equal proportions (EP) method.^[1] Jahrzehntelange Debatten im Kongress fanden ihr Ende in einem 1941 verabschiedeten Gesetz, das die Verwendung des Hill/Huntington-Verfahrens für die Aufteilung der 435 Sitze des Repräsentantenhauses seither festschreibt.^[2]

Verfahrensbeispiel: US-Repräsentantenhaus nach Volkszählung 2020

Das Hill/Huntington-Verfahren wird in der nachfolgenden Tabelle beispielhaft vorgeführt. Gemäß der US-Volkszählung 2020 werden die 435 Sitze des Repräsentantenhauses auf die 50 Gliedstaaten verteilt.^[3]

Hill/Huntington-Verfahren als Divisorverfahren mit geometrischer Rundung
Bundesstaat	Bevölkerung 2020	Quotient	Rundungs- schwelle	Sitze
Kalifornien	39.576.757	51,9		52
Texas	29.183.290	38,2		38
Florida	21.570.527	28,3		28
New York	20.215.751	26,49523	26,49528	26
Pennsylvanien	13.011.844	17,1		17
Illinois	12.822.739	16,8		17
Ohio	11.808.848	15,48	15,49	15
Georgia	10.725.274	14,1		14
Nord-Carolina	10.453.948	13,7		14
Michigan	10.084.442	13,2		13
New Jersey	9.294.493	12,2		12
Virginia	8.654.542	11,3		11
Washington	7.715.946	10,1		10
Arizona	7.158.923	9,38	9,49	9
Massachusetts	7.033.469	9,2		9
Tennessee	6.916.897	9,1		9
Indiana	6.790.280	8,9		9
Maryland	6.185.278	8,1		8
Missouri	6.160.281	8,1		8
Wisconsin	5.897.473	7,7		8
Colorado	5.782.171	7,6		8
Minnesota	5.709.752	7,48333	7,48331	8
Süd-Carolina	5.124.712	6,7		7
Alabama	5.030.053	6,6		7
Louisiana	4.661.468	6,1		6
Kentucky	4.509.342	5,9		6
Oregon	4.241.500	5,6		6
Oklahoma	3.963.516	5,2		5
Connecticut	3.608.298	4,7		5
Utah	3.275.252	4,3		4
Iowa	3.192.406	4,2		4
Nevada	3.108.462	4,1		4
Arkansas	3.013.756	3,9		4
Mississippi	2.963.914	3,9		4
Kansas	2.940.865	3,9		4
New Mexico	2.120.220	2,8		3
Nebraska	1.963.333	2,6		3
Idaho	1.841.377	2,41	2,45	2
West Virginia	1.795.045	2,35		2
Hawaii	1.460.137	1,9		2
New Hampshire	1.379.089	1,8		2
Maine	1.363.582	1,8		2
Rhode Island	1.098.163	1,44	1,41	2
Montana	1.085.407	1,42	1,41	2
Delaware	990.837	1,3		1
Süddakota	887.770	1,2		1
Norddakota	779.702	1,02		1
Alaska	736.081	0,96		1
Vermont	643.503	0,8		1
Wyoming	577.719	0,8		1
Summe (Divisor)	331.108.434	(762.996)	–	435
Auf je 762.996 Personen entfällt rund ein Sitz.

Zu Beginn wird für jeden Bundesstaat seine Bevölkerungszahl durch ein- und denselben Divisor geteilt (hier: 762.996). Die Zwischenergebnisse (Spalte „Quotient“) bewahren zwar die Proportionalität unter den Bevölkerungsanteilen, werden aber fast nie ganzzahlig sein und können deshalb nicht als Sitzzahlen dienen. Denn für Sitzzahlen ist Ganzahligkeit unabdingbar.

Zum Abschluss des Verfahrens werden daher die Quotienten zu einer Ganzzahl gerundet, entweder zur Ganzzahl unter dem Quotient oder zur Ganzzahl darüber. Darauf verweist der Zusatz „rund“ in der Lösungsformel: Auf je 762.996 Personen entfällt rund ein Sitz.

Als Rundungsregel benutzt das Hill/Huntington-Verfahren die „geometrische Rundung“. Die Bezeichnung verweist darauf, dass die Rundungsschwelle, unterhalb der abgerundet und oberhalb der aufgerundet wird, gegeben wird durch das geometrische Mittel der beiden Ganzzahlen $n-1$ und $n$ , die den jeweiligen Quotienten einrahmen:

{\text{Rundungsschwelle im Intervall }}[n-1;n]={\sqrt {(n-1)n}}

Das Anfangsintervall [0;1] hat Rundungsschwelle Null, hier fallen Rundungsschwelle und unterer Eckpunkt zusammen.^[4] In diesem Intervall liegen alle Quotienten oberhalb ihrer Rundungsschwelle und werden zu Eins aufgerundet (Alaska, Vermont, Wyoming). In der Praxis bedeutet dies, dass mit dem Hill/Huntington-Verfahren jeder Bundesstaat mindestens einen Sitz bekommt; damit wird einer Vorgabe der US-Verfassung Genüge getan.

In allen anderen Intervallen befindet sich die Rundungsschwelle im Inneren: 1,414, 2,449, 3,464 usw. Die Nachkommareste der Rundungsschwellen sind größer als 0,4 und kleiner als 0,5.^[5] Dieser Befund hat zwei wichtige Konsequenzen für alle Quotienten jenseits des Anfangsintervalls (d. h. für alle Quotienten größer als Eins).

Erstens wird ein solcher Quotient immer abgerundet, wenn sein Nachkommarest kleiner als 0,4 ist. Denn notgedrungen liegt der Quotient unterhalb seiner zugehörigen Rundungsschwelle. Zweitens wird ein Quotient mit Nachkommarest größer als 0,5 immer aufgerundet, weil er seine Rundungsschwelle garantiert übertrifft. Solche Fälle sind unkritisch, die Zellen in der Tabellenspalte „Rundungsschwelle“ können leer bleiben.

Kritisch sind nur Quotienten mit Nachkommaresten zwischen 0,4 und 0,5. Hier müssen so viele Nachkommastellen sowohl vom Quotienten als auch von der Rundungsschwelle bestimmt werden, bis klar wird, ob der Quotient die Rundungsschwelle unterschreitet oder übertrifft. Manchmal sind zwei Dezimalstellen ausreichend (Ohio, Arizona, Idaho, Rhode Island, Montana), manchmal braucht es mehr (New York, Minnesota).

Allgemeine Verfahrensvorschriften

Zentral für den Vollzug des Verfahrens ist die Bestimmung eines geeigneten Zuteilungsdivisors. Jeder Divisorwert ist geeignet, für den die gerundeten Quotienten in Summe die gegebene Gesamtzahl der Sitze genau ausschöpfen. Es gibt keine Ein-Zeilen-Formel, die einen passenden Divisor direkt liefern könnte. Stattdessen muss ein Mehr-Schritt-Rechenweg durchlaufen werden.

Als Startdivisor dient der Bevölkerungsdurchschnitt pro Sitz, in obigem Beispiel 331.108.434 / 435 = 761.169. Damit werden allerdings 437 Sitze vergeben, zwei Sitze zu viel. Die Diskrepanz von 437 – 435 = 2 Sitzen wird in zwei Korrekturschritten beseitigt.

Im ersten Korrekturschritt zeigt eine Betrachtung aller zum Startdivisor gehörenden Quotienten, dass der Ohio-Quotient (11.808.848 / 761.169 = 15,51) nur knapp größer ist als die unterhalb liegende Rundungsschwelle (15,49193). Dies ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass der Startdivisor (761.169) kleiner ist als die „Ohio-Vergleichszahl“:^[6]

{\text{Ohio-Vergleichszahl}}={\frac {\text{Ohio-Bevölkerung}}{\text{untere Ohio-Rundungsschwelle}}}=762.257,9

Die Ohio-Vergleichszahl ist die kleinste unter allen Vergleichszahlen, die mit den 50 Bundesstaaten einhergehen. Eine Vergrößerung des Startdivisors (761.169) auf den Wert 762.259 hat zur Folge, dass der zugehörige Ohio-Quotient (15,49191) unter die Ohio-Rundungschwelle (15,49193) gerutscht ist und somit nicht mehr auf 16 aufgerundet, sondern auf 15 abgerundet wird. Dies geschieht bei Ohio, ohne dass bei einem der anderen Staaten der Quotient aus Bevölkerungsgröße und aktuellem Divisor seine zugehörige untere Rundungschwelle unterschreitet und sich dort die Rundung ändert. Mit dem neuen Divisor (762.259) bekommt Ohio einen Sitz weniger und die Gesamtsitzzahl sinkt um einen Sitz auf 436.

Im zweiten Korrekturschritt werden auf ähnliche Weise die Quotienten untersucht, die zum nun aktuellen Divisor 762.259 gehören. Hier erweist sich die New York-Vergleichszahl als ausschlaggebend:

{\text{New York-Vergleichszahl}}={\frac {\text{New York-Bevölkerung}}{\text{untere New York-Rundungsschwelle}}}=762.994,4

Die New York-Vergleichszahl ist deshalb ausschlaggebend, weil sie unter den Vergleichszahlen aller 50 Bundesstaaten die kleinste ist. Ein Übergang vom momentanen Divisor (762.259) zum neuen Divisor 762.995 hat zur Folge, dass der New York-Quotient (26,49526) nunmehr abgerundet wird und bei den anderen Staaten die Sitzzahl gleich bleibt. Das Ziel von 435 Gesamtsitzen ist erreicht.

Der Rechenweg schließt mit einer Zusatzüberlegung. Die nächste Vergleichszahl, jenseits der die Gesamtsitzzahl auf 434 sinken würde und die deshalb eine obere Schranke für die Divisorauswahl bedeutet, ist die von Minnesota:

{\text{Minnesota-Vergleichszahl}}={\frac {\text{Minnesota-Bevölkerung}}{\text{Minnesota-Rundungsschwelle}}}=762.997,7

Jeder Wert im Bereich von 762.994,4 bis 762.997,7 taugt als Divisor, denn die Gesamtsitzzahl 435 wird jeweils genau ausgeschöpft. Für die Stabilität des rechnerischen Vollzugs empfiehlt sich die Bereichsmitte 762.996. Dies ist der „Zitierdivisor“, den obige Tabelle benutzt.

Vollzug als Höchstzahlenschema. Das Hill/Huntington-Verfahren kann auch als Höchstzahlenschema dargestellt werden. Vorteil eines Schemas ist, dass es sich schematisch abarbeiten lässt. Nachteil ist, dass die schematische Arbeit wenig zum Verständnis des Verfahrens beiträgt.

Das Höchstzahlenverfahren beginnt mit einem Startdivisor, der alle Bevölkerungszahlen übersteigt, im Beispiel etwa mit 40.000.000. Die damit berechneten Quotienten fallen alle in das Anfangsintervall [0;1] und werden zu Eins aufgerundet. Also werden beim Start 50 Sitze verteilt, jeder Bundesstaat bekommt einen Startsitz. Die Diskrepanz von 50 − 435 = −385 Sitzen wird in 385 Korrekturschritten abgearbeitet, indem der Startdivisor Schritt um Schritt verkleinert wird. Bei jedem Schritt überschreitet einer der größer werdenden Quotienten die oberhalb von ihm liegende Rundungsschwelle, weshalb der zugehörige Staat einen Sitz mehr bekommt und zum Abbau der Diskrepanz beiträgt.

Der erste Korrekturschritt schaut auf die Vergleichszahlen, die man erhält, wenn man die Bevölkerungszahlen durch die Rundungsschwelle des Intervalls [1;2] teilt, die über die Vergabe eines zweiten Sitzes entscheidet. Sobald der Divisor unter die höchste dieser Vergleichszahlen fällt (27.984.993), wird der einundfünzigste Sitz vergeben, er geht an Kalifornien.

Im zweiten Korrekturschritt wird für Kalifornien (und zwar nur für Kalifornien) die Vergleichszahl mit der Rundungsschwelle des Intervalls [2;3] aktualisiert, weil Kalifornien nun dem dritten Sitz nahe kommt. Die Vergleichszahlen der anderen Staaten bleiben gleich, denn diese warten auf ihren zweiten Sitz. Sobald der Divisor die höchste der aktualisierten Vergleichszahlen passiert (20.635.702), wird der zweiundfünfzigste Sitz zugeteilt, diesmal an Texas.

Im dritten Korrekturschritt wird für Texas die Vergleichszahl mit der Rundungsschwelle des Intervalls [2;3] aktualisiert, weil der nächste Sitz für Texas der dritte wäre. Die Vergleichszahlen der anderen Staaten bleiben unangetastet. Sobald der Divisor kleiner wird als die höchste dieser Vergleichszahlen (16.157.143), wird der dreiundfünfzigste Sitz vergeben und zwar wieder an Kalifornien.

So geht es weiter, bis im dreihundertfünfundachzigsten Korrekturschritt der letzte, vierhundertfünfunddreißigste Sitz Minnesota zugewiesen wird. Die Arbeit ist erledigt.

Die Gesamtheit der Korrekturschritte lässt sich schematisieren. Von allen sukzessiven Vergleichszahlen werden die 385 höchsten identifiziert, die „Höchstzahlen“. Jeder Bundesstaat bekommt zum Startsitz so viele Sitze hinzu, wie oft er zu den 385 Höchstzahlen beiträgt. Die anhängende Tabelle umfasst einen Ausschnitt dieses Vorgehens.

Hill/Huntington-Verfahren als Höchstzahlenschema
Bundesstaat	Kalifornien		Texas		New York		Minnesota
Bevölkerung 2020	39.576.757		29.183.290		20.215.751		5.709.752
Bev. / 40.000.000	0,99		0,73		0,51		0,14
Startsitze (insges. 50)	1		1		1		1
Vergleichszahlen
Bev. / ${\sqrt {1\cdot 2}}$	51	27.984.993	52	20.635.702	55	14.294.695	97	4.037.404
Bev. / ${\sqrt {2\cdot 3}}$	53	16.157.143	56	11.914.028	64	8.253.046	152	2.330.996
…
Bev. / ${\sqrt {7\cdot 8}}$	78	5.288.667	99	3.899.781	133	2.701.443	435	762.998
…
Bev. / ${\sqrt {26\cdot 27}}$	227	1.493.728	306	1.101.452	(436)	762.994	215.501
…
Bev. / ${\sqrt {51\cdot 52}}$	433	768.517	566.693		392.557		110.874
Bev. / ${\sqrt {52\cdot 53}}$	753.877		555.897		385.079		108.762
Spaltenweise Auszählung der Höchstzahlen
Endsitze (insges. 435)	52		38		26		8

Verfahrenseigenschaften

Grundeigenschaften. Das Hill/Huntington-Verfahren ist ein Divisorverfahren und besitzt als solches sechs elementare und grundlegende Eigenschaften. Das Verfahren ist

anonym (die Sitzzahlen sind unbeeinflusst von Reihenfolge oder Benennung der Distrikte),
balanciert (die Sitzzahlen gleichstarker Distrikte unterscheiden sich höchstens um Eins),
konkordant (die Sitzzahl eines stärkeren Distrikt ist nicht kleiner als die eines schwächeren),
homogen (Relativanteile für die Bevölkerungen führen zu denselben Sitzzahlen wie Absolutzahlen),
exakt (bei Ganzzahligkeit aller Zwischenergebnisse entfällt der Rundungsschritt) und
kohärent (Teilsysteme von Distrikten haben Lösungen, die mit dem Gesamtsystem harmonieren).

Vertretungsgewichte der Sitze. Was das Hill/Huntington-Verfahren auszeichnet, ist sein Optimalitätsverhalten hinsichtlich der Vertretungsgewichte der Mandatsträger. Innerhalb eines Distrikts ist das „Vertretungsgewicht eines Sitzes“ die durchschnittliche Zahl von Bürgern und Bürgerinnen in diesem Distrikt, die von einem der dortigen Abgeordneten repräsentiert werden. Vertretungsgewichte variieren somit von Distrikt zu Distrikt. Im Idealfall sind die Vertretungsgewichte überall gleich, in welchem Fall sie mit dem Vertretungsgewicht im Gesamtgebiet zusammenfallen.

In obigem Beispiel ist das Vertretungsgewicht eines Sitzes in Kalifornien 39.576.757 / 52 = 761.091,48, in Texas 29.183.290 / 38 = 767.981,32, …, in Wyoming 577.719 / 1 = 577.719 und idealerweise im Gesamtgebiet 331.108.434 / 435 = 761.168,81.

Minimierung globaler Ungleichheit. Wegen der unterschiedlichen Bezugsgesamtheiten wird das reale Vertretungsgewicht eines Distrikts wohl immer vom idealen Vertretungsgewicht im Gesamtgebiet abweichen. Eine bewährte Art, solche Abweichungen zu messen, ist das Quadrat der Differenz. Durch Quadrieren wird die Richtung der Abweichung (ob real mehr als ideal oder ob real weniger als ideal) bedeutungslos. Zudem werden größere Abweichungen stärker gewichtet als kleinere. Innerhalb eines Distrikts sammeln sich so viele Abweichungsquadrate an, wie es dort Sitze gibt. Die Summe über alle Distrikte ist ein zahlenmäßiges Kriterium für die Ungleichheit, die einer Sitzzuteilung mit Blick auf die Vertretungsgewichte der Sitze innewohnt.

Sainte-Laguë bewies im Jahr 1910, dass die Sitzzuteilung, die das Hill/Huntington-Verfahren liefert, dieses Ungleichheitsmaß so weit absenkt wie möglich. Stärker noch: nur die Zuteilungen dieses Verfahrens und keine anderen minimieren das Kriterium.^[7]

Diese Optimalitätseigenschaft ist bemerkenswert. In obigem Beispiel, in dem 435 Sitze auf 50 Distrikte zu verteilen sind, übersteigt die Anzahl möglicher Sitzzuteilungen das menschliche Vorstellungsvermögen, diese Zahl hat 68 Stellen. Aus diesem Meer von Alternativen fischt das Hill/Huntington-Verfahren genau die eine Sitzzuteilung heraus, die dem Ideal gleicher Vertretungsgewichte so nahe (im gerade präzisierten Sinn) kommt wie irgend möglich.

Paarweise Vergleiche anhand relativer Unterschiede. Ein anderer Ansatz zum Studium von Ungleichheiten betrachtet für Paare von je zwei Distrikten den Unterschied ihrer Kennzahlen.^[8] Eine Sitzzuteilung ist „stabil“, wenn für alle Paarungen der Transfer eines Sitzes von dem einen Distrikt zum anderen dazu führt, dass der Unterschied eher größer wird oder günstigstensfalls gleich bleibt. In solchen Fällen sollte ein Sitztransfer tunlichst unterbleiben, weil die neue Situation niemals kleinere Unterschiede mit sich bringt und nicht besser wäre als die alte. Gesucht sind „stabilitätssichernde“ Verfahren, deren Sitzzuteilungen sich immer als stabil erweisen.^[9]

Huntington warb dafür, dass der Vergleich zweier Distrikte nicht am (absoluten) Unterschied ihrer Kennzahlen auszurichten sei, sondern am relativen Unterschied.^[10] Die Zuteilungsproblematik würde nämlich viele Kennzahlen anbieten; Huntingtons Liste – angeführt vom Vertretungsgewicht der Sitze und dem Erfolgswert der Wählerstimmen – umfasste 32 Varianten. Vom Bezug auf absolute Unterschiede sei abzuraten, weil damit die Vielfalt der Varianten zu einem Wirrwarr von verschiedenen Zuteilungsverfahren führe und zudem für manche Kennzahlen gar kein stabilitätssicherndes Verfahren existiere. Ganz anders sei die Lage, wenn der Vergleich mit relativen Unterschieden durchgeführt werde. Dann sei das Ergebnis konstruktiv und für alle 32 Kennzahlvarianten dasselbe: das eindeutig bestimmte stabilitätssichernde Verfahren ist das Hill/Huntington-Verfahren.^[11]

Weblinks

Wahlrecht.de - Hill/Huntington-Verfahren
BAZI - Berechnung von Anzahlen mit Zuteilungsmethoden im Internet (freies Java-Programm, incl. großer Datenbank mit realen Wahlergebnissen)

Einzelnachweise und Anmerkungen

↑ Siehe die ausführliche Darstellung in Chapter 6 "The Controversy over Bias", insbesondere auch Anmerkung 5 auf Seite 181, in Michel L. Balinski / H. Peyton Young: Fair Representation – Meeting the Ideal of One Man, One Vote. New Haven CT, 1982. Second Edition (mit identischer Seitenzählung): Washington DC, 2001.
↑ Bis 1941 wurde zu diesem Zweck das Webster-Verfahren verwendet. Bis 1900 wurde die Größe des Repräsentantenhauses so festgelegt, dass die Sitzaufteilungen nach Webster-Verfahren und Hamilton-Verfahren identisch waren. Bis 1880 wurde ausschließlich das Hamilton-Verfahren verwendet, bis 1840 das Jefferson-Verfahren.
↑ United States Census Bureau, 26. April 2021: 2020 Census Apportionment Results. Abgerufen am 19. Oktober 2023 (englisch). – Die Spalte "Bevölkerung 2020" enthält die sog. apportionment population. Die Regelung, welche Personengruppen zur apportionment population gezählt werden oder nicht, ist eine diffizile Verfahrensentscheidung, die gelegentlich erst durch Anrufung von Gerichten geklärt wird. Die apportionment population unterscheidet sich geringfügig von den üblichen Einwohnerzahlen.
↑ Denn ${\sqrt {0\cdot 1}}=0$ .
↑ Der Nachkommarest einer Rundungsschwelle ist gegeben durch ${\sqrt {(n-1)n}}-(n-1)$ . Diese Folge beginnt für n=2 mit 0,414, ist streng wachsend und konvergiert gegen 0,5.
↑ Die Ungleichung ${\frac {\text{Ohio-Bev.}}{\text{Divisor}}}>{\sqrt {(n-1)n}}$ ist gleichbedeutend mit der Ungleichung ${\text{Divisor}}<{\frac {\text{Ohio-Bev.}}{\sqrt {(n-1)n}}}.$
↑ André Sainte-Laguë: La représentation proportionnelle et la méthode des moindres carrés. Annales scientifiques de l'École normale supérieure, Troisième série 27 (1910) 529–542. Siehe auch Chapter 10 „Appraising Electoral Equality: Goodness-of-Fit Criteria“ in Friedrich Pukelsheim: Sitzzuteilungsmethoden – Ein Kompaktkurs über Stimmenverrechnungsverfahren in Verhältniswahlsystemen. Springer-Verlag, Berlin 2015, doi:10.1007/978-3-662-47361-0, ISBN 978-3-662-47361-0 (E-Book), ISBN 978-3-662-47360-3 (Softcover).
↑ Der (absolute) „Unterschied“ der Zahlen a und b ist der Absolutbetrag ihrer Differenz, |a - b|.
↑ Die Analyse paarweiser Vergleiche wurde von Joseph A. Hill initiiert (Method of apportioning representatives, House Reports, 62d Congress, 1st Session, Vol. 1, No. 12 (1911) 43–108), auch von Ladislaus von Bortkiewicz verwendet (Ergebnisse verschiedener Verteilungssysteme bei der Verhältniswahl, Annalen für soziale Politik und Gesetzgebung 6 (1919) 592–613) und schließlich von Edward V. Huntington perfektioniert (The apportionment of representatives in Congress, Transactions of the American Mathematical Society 30 (1928) 85–110).
↑ Der „relativer Unterschied“ der Zahlen a und b dividiert den Absolutbetrag ihrer Differenz durch die kleinere der beiden Zahlen, |a - b|/min{a, b}.
↑ Thomas L. Bartlow: Mathematics and politics – Edward V. Huntington and apportionment of the United States Congress. Proceedings of the Canadian Society for History and Philosophy of Mathematics 19 (2006) 29–54.

[1] Siehe die ausführliche Darstellung in Chapter 6 "The Controversy over Bias", insbesondere auch Anmerkung 5 auf Seite 181, in Michel L. Balinski / H. Peyton Young: Fair Representation – Meeting the Ideal of One Man, One Vote. New Haven CT, 1982. Second Edition (mit identischer Seitenzählung): Washington DC, 2001.

[2] Bis 1941 wurde zu diesem Zweck das Webster-Verfahren verwendet. Bis 1900 wurde die Größe des Repräsentantenhauses so festgelegt, dass die Sitzaufteilungen nach Webster-Verfahren und Hamilton-Verfahren identisch waren. Bis 1880 wurde ausschließlich das Hamilton-Verfahren verwendet, bis 1840 das Jefferson-Verfahren.

[3] United States Census Bureau, 26. April 2021: 2020 Census Apportionment Results. Abgerufen am 19. Oktober 2023 (englisch). – Die Spalte "Bevölkerung 2020" enthält die sog. apportionment population. Die Regelung, welche Personengruppen zur apportionment population gezählt werden oder nicht, ist eine diffizile Verfahrensentscheidung, die gelegentlich erst durch Anrufung von Gerichten geklärt wird. Die apportionment population unterscheidet sich geringfügig von den üblichen Einwohnerzahlen.

[4] Denn ${\sqrt {0\cdot 1}}=0$ .

[5] Der Nachkommarest einer Rundungsschwelle ist gegeben durch ${\sqrt {(n-1)n}}-(n-1)$ . Diese Folge beginnt für n=2 mit 0,414, ist streng wachsend und konvergiert gegen 0,5.

[6] Die Ungleichung ${\frac {\text{Ohio-Bev.}}{\text{Divisor}}}>{\sqrt {(n-1)n}}$ ist gleichbedeutend mit der Ungleichung ${\text{Divisor}}<{\frac {\text{Ohio-Bev.}}{\sqrt {(n-1)n}}}.$

[7] André Sainte-Laguë: La représentation proportionnelle et la méthode des moindres carrés. Annales scientifiques de l'École normale supérieure, Troisième série 27 (1910) 529–542. Siehe auch Chapter 10 „Appraising Electoral Equality: Goodness-of-Fit Criteria“ in Friedrich Pukelsheim: Sitzzuteilungsmethoden – Ein Kompaktkurs über Stimmenverrechnungsverfahren in Verhältniswahlsystemen. Springer-Verlag, Berlin 2015, doi:10.1007/978-3-662-47361-0, ISBN 978-3-662-47361-0 (E-Book), ISBN 978-3-662-47360-3 (Softcover).

[8] Der (absolute) „Unterschied“ der Zahlen a und b ist der Absolutbetrag ihrer Differenz, |a - b|.

[9] Die Analyse paarweiser Vergleiche wurde von Joseph A. Hill initiiert (Method of apportioning representatives, House Reports, 62d Congress, 1st Session, Vol. 1, No. 12 (1911) 43–108), auch von Ladislaus von Bortkiewicz verwendet (Ergebnisse verschiedener Verteilungssysteme bei der Verhältniswahl, Annalen für soziale Politik und Gesetzgebung 6 (1919) 592–613) und schließlich von Edward V. Huntington perfektioniert (The apportionment of representatives in Congress, Transactions of the American Mathematical Society 30 (1928) 85–110).

[10] Der „relativer Unterschied“ der Zahlen a und b dividiert den Absolutbetrag ihrer Differenz durch die kleinere der beiden Zahlen, |a - b|/min{a, b}.

[11] Thomas L. Bartlow: Mathematics and politics – Edward V. Huntington and apportionment of the United States Congress. Proceedings of the Canadian Society for History and Philosophy of Mathematics 19 (2006) 29–54.

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