Homothetische Hyperbelfunktionen für
k
=
1
,
5
{\displaystyle k=1,5}
Homothetische quadratische Funktionen für
k
=
0
,
5
{\displaystyle k=0,5}
Homothetische trigonometrische Funktionen für
k
=
0
,
5
{\displaystyle k=0,5}
Zwei auf
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
reellwertige Funktionen
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
homothetisch , wenn es eine positive reelle Konstante
k
≠
1
{\displaystyle k\neq 1}
g
(
k
x
)
=
k
f
(
x
)
{\displaystyle g(kx)=kf(x)}
Ersetzt man
x
{\displaystyle x}
x
k
{\displaystyle {\tfrac {x}{k}}}
g
(
x
)
=
k
f
(
x
k
)
{\displaystyle g(x)=kf({\tfrac {x}{k}})}
Zwei Hyperbelfunktionen mit den Gleichungen
f
(
x
)
=
a
x
{\displaystyle f(x)={\frac {a}{x}}}
g
(
x
)
=
b
x
{\displaystyle g(x)={\frac {b}{x}}}
(
a
,
b
>
0
)
{\displaystyle (a,b>0)}
Asymptoten senkrecht zueinander sind (rechtwinklige oder auch gleichseitige Hyperbeln[ 1]
k
=
b
a
{\displaystyle k={\sqrt {\frac {b}{a}}}}
g
(
k
x
)
=
k
f
(
x
)
⇔
b
k
x
=
k
⋅
a
x
⇔
b
k
=
a
⋅
k
⇔
k
2
=
b
a
⇔
k
=
b
a
{\displaystyle g(kx)=kf(x)\Leftrightarrow {\frac {b}{kx}}=k\cdot {\frac {a}{x}}\Leftrightarrow {\frac {b}{k}}=a\cdot k\Leftrightarrow k^{2}={\frac {b}{a}}\Leftrightarrow k={\sqrt {\frac {b}{a}}}}
Zwei quadratische Funktionen mit den Gleichungen
f
(
x
)
=
a
x
2
{\displaystyle f(x)=ax^{2}}
g
(
x
)
=
b
x
2
{\displaystyle g(x)=bx^{2}}
(
a
,
b
>
0
)
{\displaystyle (a,b>0)}
k
=
a
b
{\displaystyle k={\frac {a}{b}}}
g
(
k
x
)
=
k
⋅
f
(
x
)
⇔
b
(
k
x
2
)
=
k
⋅
a
x
2
⇔
b
k
2
x
2
=
k
a
x
2
⇔
k
=
a
b
{\displaystyle g(kx)=k\cdot f(x)\Leftrightarrow b(kx^{2})=k\cdot ax^{2}\Leftrightarrow bk^{2}x^{2}=kax^{2}\Leftrightarrow k={\frac {a}{b}}}
Die Funktionen
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
f
(
x
)
=
sin
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\sin(x)}
g
(
x
)
=
sin
(
x
)
cos
(
x
)
{\displaystyle g(x)=\sin(x)\cos(x)}
k
=
1
2
{\displaystyle k={\frac {1}{2}}}
g
(
x
)
=
sin
(
x
)
cos
(
x
)
=
1
2
⋅
2
sin
(
x
)
cos
(
x
)
=
1
2
⋅
sin
(
2
x
)
=
1
2
⋅
f
(
2
x
)
=
1
2
⋅
f
(
x
1
2
)
{\displaystyle g(x)=\sin(x)\cos(x)={\frac {1}{2}}\cdot 2\sin(x)\cos(x)={\frac {1}{2}}\cdot \sin(2x)={\frac {1}{2}}\cdot f(2x)={\frac {1}{2}}\cdot f\left({\frac {x}{\frac {1}{2}}}\right)}
Jede lineare Funktion mit der Gleichung
f
(
x
)
=
a
x
(
a
∈
R
)
{\displaystyle f(x)=ax(a\in \mathbb {R} )}
selbst-homothetisch ).
f
(
k
x
)
=
a
k
x
=
k
a
x
=
k
f
(
x
)
{\displaystyle f(kx)=akx=kax=kf(x)}
[ 2]
↑ Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen . Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45461-9 , S. 241 ff.
↑ Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen . Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45461-9 , S. 54 bis 56
