Irrationalitätsmaß

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Mit dem Irrationalitätsmaß oder Irrationalitätsexponent einer reellen Zahl bezeichnet man das Supremum aller reellen Exponenten , die

für unendlich viele natürliche (mit passend gewählt) erfüllen. Je größer das Irrationalitätsmaß einer reellen Zahl, desto besser lässt sie sich also durch rationale Zahlen approximieren.

Am besten lassen sich die sogenannten Liouvilleschen Zahlen durch rationale Zahlen approximieren. Das sind per Definition genau die reellen Zahlen, die ein Irrationalitätsmaß von besitzen.

Am schlechtesten lassen sich die rationalen Zahlen selbst durch rationale Zahlen approximieren. Sie sind die einzigen mit Irrationalitätsmaß 1, alle irrationalen Zahlen besitzen ein Irrationalitätsmaß von mindestens 2, wie man aus dem dirichletschen Approximationssatz folgern kann.

Der Satz von Thue-Siegel-Roth (für dessen Beweis Klaus Friedrich Roth 1958 mit der Fields-Medaille ausgezeichnet wurde) wiederum impliziert, dass alle algebraischen reellen Zahlen ein Irrationalitätsmaß von maximal 2 haben. Es folgt also für alle algebraischen reellen Zahlen

Damit ist gezeigt, dass alle reellen Zahlen mit Irrationalitätsmaß größer als 2 transzendent sind. Tatsächlich haben aber auch die meisten transzendenten Zahlen ein Irrationalitätsmaß von 2, denn fast alle reellen Zahlen tragen das Irrationalitätsmaß 2. Die Zahlen mit einem von 2 verschiedenen Irrationalitätsmaß bilden also eine Lebesgue-Nullmenge, sind aber überabzählbar, da es alleine schon überabzählbar viele Liouvillesche Zahlen gibt.

Für sehr viele transzendente in der Zahlentheorie relevante Zahlen ist das Irrationalitätsmaß noch unbekannt. Oft gibt es aber obere (und untere) Schranken:

Zahl Irrationalitätsmaß Anmerkungen
untere Schranke obere Schranke
Rationale Zahl 1 Jede rationale Zahl hat ein Irrationalitätsmaß von genau eins.
Algebraische irrationale Zahl 2 Nach dem Satz von Thue-Siegel-Roth haben algebraisch-irrationale Zahlen wie die Wurzel aus 2 und der goldene Schnitt ein Irrationalitätsmaß von genau zwei.
mit 2 Für die Eulersche Zahl gilt , weshalb deren Irrationalitätsmaß genau zwei ist.
2 Es gilt
2 3,57455… .[1][2][3]
2 5,11620…
2 7,10320… Falls die Reihe konvergiert, ist das Irrationalitätsmaß von der Kreiszahl sogar kleiner als 2,5.[1][4][5][6]
2 5,09541… [1][7]
2 9,27204… [8][9][10][11]
2 5,94202…
Apéry-Konstante 2 5,51389… [1]
Cahen-Konstante 3 [12]
Champernowne-Zahl 10 [13]
Liouvillesche Konstante Es ist

Einzelnachweise

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  1. a b c d Eric W. Weisstein: Irrationality Measure. Abgerufen am 2. Oktober 2024 (englisch).
  2. Yu. V. Nesterenko: On the irrationality exponent of the number ln 2. In: Mathematical Notes. Band 88, Nr. 3, 1. Oktober 2010, ISSN 1573-8876, S. 530–543, doi:10.1134/S0001434610090257 (springer.com [abgerufen am 2. Oktober 2024]).
  3. I. V. Bondareva, M. Yu. Luchin, V. Kh. Salikhov, “Symmetrized polynomials in a problem of estimating of the irrationality measure of number $\ln 3$”, Chebyshevskii Sb., 19:1 (2018), 15–25. Abgerufen am 2. Oktober 2024.
  4. Doron Zeilberger, Wadim Zudilin: The Irrationality Measure of Pi is at most 7.103205334137... 13. Dezember 2019, abgerufen am 2. Oktober 2024 (englisch).
  5. Max A. Alekseyev: On convergence of the Flint Hills series. 27. April 2011, abgerufen am 2. Oktober 2024 (englisch).
  6. Alex Meiburg: Bounds on Irrationality Measures and the Flint-Hills Series. 29. August 2022, abgerufen am 2. Oktober 2024 (englisch).
  7. Wadim Zudilin: Two hypergeometric tales and a new irrationality measure of $\zeta(2)$. In: Annales mathématiques du Québec. Band 38, Nr. 1, Juni 2014, ISSN 2195-4755, S. 101–117, doi:10.1007/s40316-014-0016-0 (arXiv=1310.1526 [abgerufen am 2. Oktober 2024]).
  8. V. Kh. Salikhov, M. G. Bashmakova: On Irrationality Measure of Some Values of $\operatorname{arctg} \frac{1}{n}$. In: Russian Mathematics. Band 64, Nr. 12, 1. Dezember 2020, ISSN 1934-810X, S. 29–37, doi:10.3103/S1066369X2012004X (springer.com [abgerufen am 2. Oktober 2024]).
  9. Vladislav K. Salikhov, Mariya G. Bashmakova: On rational approximations for some values of arctan(s/r) for natural s and r, s. In: Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory. Band 11, Nr. 2, August 2022, ISSN 2220-5438, S. 181–188, doi:10.2140/moscow.2022.11.181 (projecteuclid.org [abgerufen am 2. Oktober 2024]).
  10. E. B. Tomashevskaya, “On the irrationality measure of the number $\log 5+\frac{\pi}{2}$ and some other numbers”, Chebyshevskii Sb., 8:2 (2007), 97–108. Abgerufen am 2. Oktober 2024.
  11. Mariya Bashmakova, Vladislav Salikhov: Об оценке меры иррациональности arctg 1/2. 2019.
  12. Daniel Duverney, Iekata Shiokawa: Irrationality exponents of numbers related with Cahen’s constant. In: Monatshefte für Mathematik. Band 191, Nr. 1, 1. Januar 2020, ISSN 1436-5081, S. 53–76, doi:10.1007/s00605-019-01335-0 (springer.com [abgerufen am 2. Oktober 2024]).
  13. Masaaki Amou: Approximation to certain transcendental decimal fractions by algebraic numbers. In: Journal of Number Theory. Band 37, Nr. 2, 1. Februar 1991, ISSN 0022-314X, S. 231–241, doi:10.1016/S0022-314X(05)80039-3 (sciencedirect.com [abgerufen am 2. Oktober 2024]).