Der Begriff des Kähler-Differentials (nach E. Kähler ) ist eine algebraische Abstraktion der Leibnizregel aus dem mathematischen Teilgebiet der Differentialrechnung .
Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra .
Es sei
A
{\displaystyle A}
ein Ring und
B
{\displaystyle B}
eine
A
{\displaystyle A}
-Algebra .
Für einen
B
{\displaystyle B}
-Modul
M
{\displaystyle M}
ist eine
A
{\displaystyle A}
-lineare Derivation von
B
{\displaystyle B}
mit Werten in
M
{\displaystyle M}
definiert als eine
A
{\displaystyle A}
-lineare Abbildung
D
:
B
→
M
{\displaystyle D\colon B\to M}
, für die die Leibnizregel gilt, das heißt
D
(
b
1
b
2
)
=
b
1
D
(
b
2
)
+
b
2
D
(
b
1
)
.
{\displaystyle D(b_{1}b_{2})=b_{1}D(b_{2})+b_{2}D(b_{1}).}
Die Menge aller solcher Derivationen bildet einen
B
{\displaystyle B}
-Modul, der mit
D
e
r
A
(
B
,
M
)
{\displaystyle \mathrm {Der} _{A}(B,M)}
bezeichnet wird.
Weiter sei
I
:=
ker
(
B
⊗
A
B
→
B
)
{\displaystyle I:=\ker(B\otimes _{A}B\to B)}
der Kern der Multiplikation, der über den linken Faktor als
B
{\displaystyle B}
-Modul aufgefasst werde. Der Modul der Kähler-Differentiale oder der relativen Differentiale ist dann
Ω
B
/
A
:=
I
/
I
2
.
{\displaystyle \Omega _{B/A}:=I/I^{2}.}
Die universelle Derivation ist die Abbildung
d
:
B
→
Ω
B
/
A
,
b
↦
d
b
:=
b
⊗
1
−
1
⊗
b
.
{\displaystyle \mathrm {d} \colon B\to \Omega _{B/A},\quad b\mapsto \mathrm {d} b:=b\otimes 1-1\otimes b.}
Sie ist eine
A
{\displaystyle A}
-lineare Derivation.
Es gilt:
H
o
m
B
(
Ω
B
/
A
,
M
)
→
D
e
r
A
(
B
,
M
)
,
f
↦
f
∘
d
,
{\displaystyle \mathrm {Hom} _{B}(\Omega _{B/A},M)\to \mathrm {Der} _{A}(B,M),\quad f\mapsto f\circ \mathrm {d} ,}
ist ein Isomorphismus. Man kann das auch so formulieren: Der Funktor
D
e
r
A
(
B
,
−
)
{\displaystyle \mathrm {Der} _{A}(B,{-})}
wird durch das Paar
(
Ω
B
/
A
,
d
)
{\displaystyle (\Omega _{B/A},\mathrm {d} )}
dargestellt . Insbesondere ist
Ω
B
/
A
{\displaystyle \Omega _{B/A}}
durch diese Eigenschaft im Wesentlichen eindeutig bestimmt.
Ist
A
{\displaystyle A}
ein Ring,
B
{\displaystyle B}
eine
A
{\displaystyle A}
-Algebra,
C
{\displaystyle C}
eine
B
{\displaystyle B}
-Algebra und
M
{\displaystyle M}
ein
C
{\displaystyle C}
-Modul, so ist die folgende Sequenz exakt :
0
⟶
D
e
r
B
(
C
,
M
)
⟶
D
e
r
A
(
C
,
M
)
⟶
D
e
r
A
(
B
,
M
)
.
{\displaystyle 0\longrightarrow \mathrm {Der} _{B}(C,M)\longrightarrow \mathrm {Der} _{A}(C,M)\longrightarrow \mathrm {Der} _{A}(B,M).}
Infolgedessen ist die entsprechende Sequenz der relativen Differentiale exakt:
Ω
B
/
A
⊗
B
C
⟶
Ω
C
/
A
⟶
Ω
C
/
B
⟶
0.
{\displaystyle \Omega _{B/A}\otimes _{B}C\longrightarrow \Omega _{C/A}\longrightarrow \Omega _{C/B}\longrightarrow 0.}
Ist speziell
C
=
B
/
I
{\displaystyle C=B/I}
für ein Ideal
I
{\displaystyle I}
in
B
{\displaystyle B}
, so ist
D
e
r
B
(
C
,
M
)
=
0
{\displaystyle \mathrm {Der} _{B}(C,M)=0}
, aber man kann noch einen weiteren Term in der exakten Sequenz angeben:
0
⟶
D
e
r
A
(
B
/
I
,
M
)
⟶
D
e
r
A
(
B
,
M
)
⟶
H
o
m
B
/
I
(
I
/
I
2
,
M
)
{\displaystyle 0\longrightarrow \mathrm {Der} _{A}(B/I,M)\longrightarrow \mathrm {Der} _{A}(B,M)\longrightarrow \mathrm {Hom} _{B/I}(I/I^{2},M)}
Infolgedessen ist die folgende Sequenz der Moduln der Kähler-Differentiale exakt:
I
/
I
2
⟶
Ω
B
/
A
⊗
B
B
/
I
⟶
Ω
(
B
/
I
)
/
A
⟶
0.
{\displaystyle I/I^{2}\longrightarrow \Omega _{B/A}\otimes _{B}B/I\longrightarrow \Omega _{(B/I)/A}\longrightarrow 0.}
Es sei
L
/
K
{\displaystyle L/K}
eine Körpererweiterung .
Hat
K
{\displaystyle K}
Charakteristik 0, so ist
dim
L
Ω
L
/
K
{\displaystyle \dim _{L}\Omega _{L/K}}
gleich dem Transzendenzgrad von
L
/
K
{\displaystyle L/K}
.
Hat
K
{\displaystyle K}
Charakteristik
p
>
0
{\displaystyle p>0}
, und ist
L
/
K
{\displaystyle L/K}
endlich erzeugt, so gilt
Ω
L
/
K
=
0
{\displaystyle \Omega _{L/K}=0}
genau dann, wenn
L
/
K
{\displaystyle L/K}
algebraisch und separabel ist. Ist beispielsweise
L
=
K
(
a
p
)
{\displaystyle L=K({\sqrt[{p}]{a}})}
eine nichttriviale inseparable Erweiterung, so ist
Ω
L
/
K
{\displaystyle \Omega _{L/K}}
ein eindimensionaler
L
{\displaystyle L}
-Vektorraum.
Ist
B
=
A
[
X
1
,
…
,
X
n
]
{\displaystyle B=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]}
, so ist
Ω
B
/
A
{\displaystyle \Omega _{B/A}}
ein freier
B
{\displaystyle B}
-Modul mit Erzeugern
d
X
1
,
…
,
d
X
n
{\displaystyle \mathrm {d} X_{1},\ldots ,\mathrm {d} X_{n}}
.