Körperturm

Körperturm ist ein Begriff aus der Algebra. Es handelt sich um mehrere ineinander verschachtelte Körpererweiterungen.

Definition

Ein Körperturm der Höhe $n\in \mathbb {N}$ ist eine Folge von Körpererweiterungen

$K_{0}\subset K_{1}\subset \ldots \subset K_{n}$.

Für jedes $j\in \{1,\ldots n\}$ soll $K_{j-1}\subset K_{j}$ eine Körpererweiterung sein. Trotz des verwendeten Inklusionssymbols ist das mehr als eine Teilmengenbeziehung, die Verknüpfungen des Körpers $K_{j-1}$ sollen die Einschränkungen der Verknüpfungen des Körpers $K_{j}$ sein. Auch bei unendlichen Folgen solcher Körpererweiterungen spricht man von Körpertürmen.

Beispiele und Anwendungen

• $\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\subset \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}$ ist ein Körperturm.
• Jede Körpererweiterung $K\subset L$ ist ein Körperturm der Höhe 1. Ist $M$ ein Zwischenkörper, so ist $K\subset M\subset L$ ein Körperturm der Höhe 2.
• Ist $K(X_{1},\ldots ,X_{n})$ der Körper der rationalen Funktionen in $n$ Unbestimmten, so ist

$K\subset K(X_{1})\subset K(X_{1},X_{2})\subset \ldots \subset K(X_{1},\ldots ,X_{n})$

ein Körperturm. Dieses Beispiel lässt sich zu einem unendlichen Körperturm fortsetzen.

• Eine Körpererweiterung $K\subset L$ heißt eine Radikalerweiterung, wenn es einen Körperturm

$K=K_{0}\subset K_{1}\subset \ldots \subset K_{n}=L$

gibt, in dem jede Erweiterung $K_{j-1}\subset K_{j}$ durch Adjunktion einer $m_{j}$-ten Wurzel entsteht, das heißt zu jedem $j\in \{1,\ldots n\}$ gibt es eine natürliche Zahl $m_{j}$ und ein Element $b_{j}\in K_{j}$ mit $b_{j}^{m_{j}}\in K_{j-1}$ und es ist $K_{j}=K_{j-1}(b_{j})$. Solche Radikalerweiterungen spielen eine wichtige Rolle in der Untersuchung der Frage, für welche Polynomgleichungen die Nullstellen durch Formeln aus Körperoperationen und Wurzelziehen in den Koeffizienten des Polynoms ausgedrückt werden können.

• Der Gradsatz verallgemeinert sich wie folgt auf Körpertürme:

Ist $K_{0}\subset K_{1}\subset \ldots \subset K_{n}$ ein Körperturm aus endlichen Körpererweiterungen, so gilt für die Erweiterungsgrade:

$[K_{n}\colon K_{0}]=\prod _{j=1}^{n}[K_{j}\colon K_{j-1}]$.

• Gibt es einen Körperturm

$\mathbb {Q} =K_{0}\subset K_{1}\subset \ldots \subset K_{n}\subset \mathbb {C}$,

und gilt $[K_{j}\colon K_{j-1}]=2$ für alle $j\in \{1,\ldots n\}$, so sind alle Punkte der komplexen Ebene, die in einem der $K_{j}$ liegen, mit Zirkel und Lineal konstruierbar. Die Elemente der Körper heißen konstruierbare Zahlen.