Kobordismuskategorie

In der Mathematik ist die Kobordismuskategorie ein Begriff der algebraischen Topologie.

Es handelt sich um Kategorien ${\mathcal {C}}_{d}$ für $d\in \mathbb {N}$, deren Objekte die geschlossenen $(d-1)$-dimensionalen glatten Untermannigfaltigkeiten eines hoch-dimensionalen euklidischen Raums und deren Morphismen die $d$-dimensionalen eingebetteten Kobordismen mit Kragenrand sind.

Definition der Kategorie

Ein Objekt von ${\mathcal {C}}_{d}$ ist ein Paar $(M,a)$ mit $a\in \mathbb {R}$, so dass $M$ eine geschlossene, $(d-1)$-dimensionale $C^{\infty }$-Untermannigfaltigkeit

$M\subset \mathbb {R} ^{d-1+\infty }:=\operatorname {colim} _{n\to \infty }\mathbb {R} ^{d-1+n}$

ist.

Der Identitäts-Morphismus von $(M,a)$ ist das Tripel $(\left\{a\right\}\times M,a,a)$. Ein von der Identität verschiedener Morphismus von $(M_{0},a_{0})$ nach $(M_{1},a_{1})$ ist ein Tripel $(W,a_{0},a_{1})$ aus reellen Zahlen $a_{0},a_{1}$ mit $a_{0}<a_{1}$ und einer $d$-dimensionalen kompakten $C^{\infty }$-Untermannigfaltigkeit

$W\subset \left[a_{0},a_{1}\right]\times \mathbb {R} ^{d-1+\infty }$,

so dass es ein $\epsilon >0$ gibt mit

$W\cap (\left[a_{0},a_{0}+\epsilon \right)\times \mathbb {R} ^{d-1+\infty })=\left[a_{0},a_{0}+\epsilon \right)\times M_{0}$,

$W\cap (\left(a_{1}-\epsilon ,a_{1}\right]\times \mathbb {R} ^{d-1+\infty })=\left(a_{1}-\epsilon ,a_{1}\right]\times M_{1}$,

$\partial W=W\cap (\left\{a_{0},a_{1}\right\}\times \mathbb {R} ^{d-1+\infty })$.

Die Komposition zweier Morphismen wird durch die Vereinigung

$(W_{1},a_{0},a_{1})\circ (W_{2},a_{1},a_{2}):=(W_{1}\cup W_{2},a_{0},a_{2})$

von Teilmengen in $\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{d-1+\infty }$ definiert.

Topologische Anreicherung der Kategorie

Objekte und Morphismen erhalten eine Topologie durch die Identifikationen

$\operatorname {ob} {\mathcal {C}}_{d}\cong \mathbb {R} \times \bigcup _{M}\operatorname {Emb} (M,\mathbb {R} ^{d-1+\infty })/\operatorname {Diff} (M)$

und

$\operatorname {mor} {\mathcal {C}}_{d}\cong \operatorname {ob} {\mathcal {C}}_{d}\cup \bigcup _{W}\mathbb {R} _{+}^{2}\times \operatorname {Emb} (W,\left[0,1\right]\times \mathbb {R} ^{d-1+\infty })/\operatorname {Diff} (W)$.

Dabei bezeichnet $\operatorname {Emb} (.,\mathbb {R} ^{d-1+\infty })$ den Raum der Einbettungen in den $\mathbb {R} ^{d-1+\infty }$ mit der $C^{\infty }$-Topologie. Die Diffeomorphismengruppe $Diff(.)$ wirkt durch Komposition von Einbettungen mit Diffeomorphismen. Der Faktorraum $\operatorname {Emb} (.,\mathbb {R} ^{d-1+\infty })/\operatorname {Diff} (.)$ wird mit der Quotiententopologie versehen.

Literatur

• Galatius, Madsen, Tillmann, Weiss: The homotopy type of the cobordism category, Acta Math. 202 (2009), no. 2, S. 195–239.
• Galatius, Randal-Williams: Stable moduli spaces of high-dimensional manifolds, Acta Math. 212 (2014), no. 2, S. 257–377.