Kontiguität (Wahrscheinlichkeitstheorie)
In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden zwei Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen als benachbart oder englisch contiguous bezeichnet, wenn sie asymptotisch denselben Träger haben. Somit erweitert der Begriff der Kontiguität (auch Benachbartheit oder englisch contiguity) den Begriff der absoluten Stetigkeit von Maßen.[1]
Das Konzept wurde ursprünglich von Lucien Le Cam 1960 im Rahmen seiner Beiträge zur abstrakten asymptotischen Wahrscheinlichkeitstheorie eingeführt.[2]
Motivation
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Der Satz von Radon-Nikodým verallgemeinert die Ableitung einer Funktion auf Maße:
Für ein σ-endliches Maß auf dem Messraum und ein σ-endliches signiertes Maß , das absolut stetig bezüglich ist (), existiert eine messbare Funktion , so dass
- für alle gilt.
In der asymptotischen Wahrscheinlichkeitstheorie werden statt konstanten Maßen ( und ) Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen und untersucht. Um den obigen Satz für zwei Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen zu definieren, muss der Begriff der absoluten Stetigkeit mit dem Konzept der Kontiguität für diese Folgen verallgemeinert werden.
Man nennt ein Maß bezüglich absolut stetig (in Symbolen ), falls für jede messbare Menge , impliziert, dass gilt. Während absolute Stetigkeit fordert, dass der Träger eines Maßes im Träger eines weiteren Maßes enthalten ist, ersetzt die Kontiguität diese Anforderung mit einer asymptotischen Version: Der Träger von ist für große im Träger von enthalten.
Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es sei eine Folge von Messräumen, jeweils mit zwei Wahrscheinlichkeitsmaßen und ausgestattet.
- Die Folge heißt benachbart zu (in Symbolen ), falls für jede Folge von messbaren Mengen, impliziert, dass .
- Die Folgen und heißen wechselseitig benachbart oder englisch bi-contiguous (in Symbolen ), falls benachbart zu und benachbart zu .[3]
Eigenschaften
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Le Cams erstes Lemma
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Für zwei Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf den Messräumen sind folgende Aussagen equivalent:[6][7][8]
- für alle Teststatistiken
wobei und Zufallsvariablen auf den Wahrscheinlichkeitsräumen sind.
Die Notation bezeichnet die Konvergenz in Verteilung.
Le Cams drittes Lemma
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Das dritte Lemma von Le Cam ist eine Version des Satzes von Radon-Nikodým, in dem die absolute Stetigkeit durch Kontiguität ersetzt wird. Es wird wie folgt formuliert:[9]
- Theorem
Sei mit den zwei Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf den Messräumen und eine Folge von Zufallsvektoren und es gelte
.
Dann definiert ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf mit für jede messbare Funktion und es gilt .
Für die Konvergenz gegen die mehrdimensionale Normalverteilung folgt daraus folgendes Korollar:
- Korollar
Seien Folgen von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf den Messräumen , und sei eine Folge von Zufallsvektoren und es gelte
Dann gilt: .
Anwendungen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Ulrich Müller-Funk: Mathematische Statistik II. Asymptotische Statistik: Parametrische Modelle und nichtparametrische Funktionale. Vieweg+Teubner Verlag, Stuttgart 2013, ISBN 978-3-322-90152-1, S. 291 ff.
- Jaroslav Hájek, Zbyněk Šidák (1967). Theory of rank tests. New York: Academic Press.
- Lucien Le Cam (1960). "Locally asymptotically normal families of distributions". University of California Publications in Statistics. 3: 37–98.
- George G. Roussas (2001) [1994], "Contiguity of probability measures", Encyclopaedia of Mathematics, EMS Press
- Aad van der Vaart (1998). Asymptotic statistics. Cambridge University Press.
- George G. Roussas (1972), Contiguity of Probability Measures: Some Applications in Statistics, CUP, ISBN 978-0-521-09095-7.
- D.J. Scott (1982) Contiguity of Probability Measures, Australian & New Zealand Journal of Statistics, 24 (1), 80–88.
- Erich Leo Lehmann, Joseph Paul Romano (2008), Testing Statistical Hypotheses. Springer New York.
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Wolfowitz J. (1974) Review of the book: "Contiguity of Probability Measures: Some Applications in Statistics. by George G. Roussas", Journal of the American Statistical Association, 69, 278–279 jstor
- ↑ Aad van der Vaart: The statistical work of Lucien Le Cam. In: The Annals of Statistics. Band 30, Nr. 3, 1. Juni 2002, ISSN 0090-5364, doi:10.1214/aos/1028674836 (projecteuclid.org [abgerufen am 1. Mai 2021]).
- ↑ van der Vaart (1998, S. 87)
- ↑ Reiß, Bemerkung 4.35
- ↑ Bartlett, S. 12
- ↑ Gutti Jogesh Babu und Bing Li: A Revisit to Le Cam’s First Lemma. In: The Indian Journal of Statistics. Pennsylvania State University, 26. Februar 2020, abgerufen am 10. Januar 2022.
- ↑ Reiß, Lemma 4.36
- ↑ Lucien M. Le Cam: Asymptotic methods in statistical decision theory. Springer-Verlag, New York 1986, ISBN 0-387-96307-3 (OCLC=13457116 [abgerufen am 1. Mai 2021]).
- ↑ Bartlett, S. 20
- ↑ Bas Werker: Advanced topics in Financial Econometrics. (PDF; 478 kB) Archiviert vom am 30. April 2006; abgerufen am 4. März 2024 (englisch).
Weblinks
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Reinhard Höpfner: Benachbartheit. Institut für Mathematik, Johannes Gutenberg-Universität Mainz, 29. Mai 2008 .
- Markus Reiß: Mathematische Statistik, Gliederung zur Vorlesung im Sommersemester 2018. Humboldt-Universität zu Berlin, 17. Juli 2018, S. 48 ff .
- Peter Bartlett: Theoretical Statistics. Lecture 21. University of California, Berkeley, 2013, abgerufen am 14. Januar 2022.
- David Pollard: Contiguity Asymptopia. Yale University, 17. Oktober 2000, archiviert vom (nicht mehr online verfügbar) (englisch).
- Krishen Mehra: Asymptotic normality under contiguity in a dependence case. In: Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete. Department of Mathematics, University of Alberta, 7. August 1967 (englisch).
- K. Behnen, G. Neuhaus: A Central Limit Theorem under Contiguous Alternatives. Albert-Ludwigs-Universität Freiburg, 1975 (englisch).
- Moulinath Banerjee: Superefficiency, Contiguity, LAN, Regularity, Convolution Theorems. University of Michigan, 6. Dezember 2006 (englisch).
- W. J. Hall und R. M. Loynes: On the Concept of Contiguity. In: The Annals of Probability. Institute of Mathematical Statistics, 1. August 1975 (englisch).