Kozykel-Starrheit

In der Mathematik ist Starrheit von Kozykeln oder der Starrheitssatz von Zimmer (auch Superstarrheitssatz von Zimmer) eine Verallgemeinerung des Superstarrheitssatzes von Margulis. Er besagt im Wesentlichen, dass orbit-äquivalente Wirkungen (a priori unterschiedlicher Gruppen) konjugiert zueinander sind. Es gibt eine Reihe von Variationen des Starrheitssatzes von Zimmer.

Kozykel und Gruppenwirkungen

Sei $\sigma \colon G\times M\to M$ eine Wirkung auf einem Wahrscheinlichkeitsraum. Ein Kozykel mit Werten in $H$ ist eine messbare Abbildung

$c\colon G\times X\to H$

mit

$c(g_{1}g_{2},x)=c(g_{1},\sigma (g_{2},x))c(g_{2},x)$

für $\mu$-fast alle $x\in M$ und alle $g_{1},g_{2}\in G$.

Zum Beispiel ist $c(g,x):=\rho (g)$ für eine Darstellung $\rho \colon G\to H$ ein Kozykel. Ein Kozykel, der fast überall mit einer Darstellung $\rho$ übereinstimmt, heißt $\rho$-konstant.

Zwei Kozykel $c_{1},c_{2}$ heißen kohomolog, wenn es eine Abbildung $\phi \colon M\to H$ gibt mit

$c_{2}(g,x)=\phi (gx)^{-1}c_{1}(g,x)\phi (x)$

für $\mu$-fast alle $x\in M$.

Einem Kozykel mit Werten in $H$ entspricht eine Wirkung von $G$ auf $X\times H$ durch

$g(x,h)=(gx,c(g,x)h)$,

die mit der Rechtswirkung von $H$ kommutiert.

Viele Probleme in der Theorie dynamischer Systeme können als Frage über Kohomologie von Kozykeln formuliert werden. Wenn die Wirkung von $G$ auf $M$ die Maßklasse erhält, dann definiert die Radon-Nikodym-Ableitung einen Kozykel mit Werten in $\mathbb {R} _{+}$. Für eine differenzierbare Wirkung auf einer glatten Mannigfaltigkeit $M$ mit einer Lebesgue-messbaren Trivialisierung $TM\simeq M\times \mathbb {R} ^{n}$ ist $c(g,x):=D_{x}g$ ein Kozykel mit Werten in $H=GL(n,\mathbb {R} )$. (Die Kozykel-Bedingung entspricht der Kettenregel.) Dies funktioniert allgemeiner für lineare Wirkungen auf Vektorbündeln mit messbarer Trivialisierung.

Superstarrheit für Kozykel

Sei $G$ eine einfach zusammenhängende halbeinfache Lie-Gruppe, deren einfache Faktoren $G_{i}$ alle Rang $rk_{\mathbb {R} }(G_{i})ge2$ haben. $G$ wirke maßerhaltend und ergodisch auf einem Wahrscheinlichkeitsraum $(X,\mu )$. Sei $H$ eine reelle algebraische Gruppe und $c\colon G\times X\to H$ ein $G$-integrabler Kozykel, d. h. für jede kompakte Teilmenge $K\subset G$ ist die Abbildung $x\mapsto sup_{g\in K}\log ^{+}\Vert c(g,x)\Vert$ in $L^{1}(X,\mu )$.

Dann gibt es einen Lie-Gruppen-Homomorphismus $\rho \colon G\to H$, eine $\rho (G)$ zentralisierende kompakte Unter-Lie-Gruppe $K\subset G$, und einen Kozykel $c_{K}\colon G\times X\to K$ so, dass $c$ kohomolog zu $\rho \cdot c_{K}$ ist.

Literatur

• R. Zimmer: Ergodic Theory and Semisimple Groups. Monographs in Mathematics, Vol. 81. Boston-Basel-Stuttgart: Birkhäuser, 1984
• R. Zimmer, D. Witte Morris: Ergodic theory, groups, and geometry. Lectures presented at the NSF-CBMS regional research conferences in the mathematical sciences, University of Minnesota, Minneapolis, MN, USA, June 22–26, 1998. CBMS Regional Conference Series in Mathematics 109. Providence, RI: American Mathematical Society (AMS), 2008, ISBN 978-0-8218-0980-8/pbk

Weblinks

• R. Feres: An introduction to cocycle super-rigidity