Das Kriterium von Bertrand oder das Bertrandsche Kriterium ist ein mathematisches Konvergenzkriterium zur Bestimmung der (absoluten ) Konvergenz sowie Divergenz unendlicher Reihen , das nach dem französischen Mathematiker Joseph Bertrand (1822–1900) benannt ist.
Sei
(
a
n
)
n
∈
N
∈
R
+
N
{\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} _{+}^{\mathbb {N} }}
eine positive reelle Folge und
A
:=
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \textstyle A:=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
die zugehörige Reihe. Die Folge
(
B
n
)
n
∈
N
∈
R
N
{\displaystyle (B_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}
mit:
B
n
:=
ln
(
n
)
(
n
(
a
n
a
n
+
1
−
1
)
−
1
)
{\displaystyle B_{n}:=\ln(n)\left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right)}
habe den endlichen oder unendlichen (respektive uneigentlichen) Grenzwert
B
∈
R
¯
=
R
∪
{
−
∞
,
+
∞
}
{\displaystyle B\in {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}
:
B
:=
lim
n
→
∞
B
n
{\displaystyle B:=\lim \limits _{n\to \infty }B_{n}}
.
Dann gilt für die Reihe:
A
{\displaystyle A}
ist
{
konvergent, falls
B
>
1
divergent, falls
B
<
1
{\displaystyle {\begin{cases}{\text{konvergent, falls}}&B>1\\{\text{divergent, falls}}&B<1\end{cases}}}
.
Sei
c
n
:=
n
ln
(
n
)
{\displaystyle c_{n}:=n\ln(n)}
mit
n
∈
N
≧
2
{\displaystyle n\in \mathbb {N} _{\geqq 2}}
. Die Reihe
∑
n
=
2
∞
1
c
n
{\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}}
divergiert aufgrund des Integralkriteriums . Setzen wir
f
(
x
)
:=
1
x
ln
(
x
)
{\displaystyle f(x):={\frac {1}{x\ln(x)}}}
, so gilt
1
c
n
=
f
(
n
)
{\displaystyle {\frac {1}{c_{n}}}=f(n)}
und
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
ist monoton fallend und
f
(
x
)
→
0
{\displaystyle f(x)\to 0}
für
x
→
∞
{\displaystyle x\to \infty }
und
x
≧
2
{\displaystyle x\geqq 2}
. Des Weiteren ist:
∫
2
R
1
x
ln
(
x
)
d
x
=
∫
2
R
d
d
x
ln
(
x
)
ln
(
x
)
d
x
=
ln
(
ln
(
R
)
)
−
ln
(
ln
(
2
)
)
→
R
→
∞
∞
{\displaystyle \int _{2}^{R}{\frac {1}{x\ln(x)}}\mathrm {d} x=\int _{2}^{R}{\frac {{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln(x)}{\ln(x)}}\mathrm {d} x=\ln(\ln(R))-\ln(\ln(2)){\xrightarrow {R\to \infty }}\infty }
.
Setze nun:
K
n
:=
c
n
a
n
a
n
+
1
−
c
n
+
1
=
n
ln
(
n
)
a
n
a
n
+
1
−
(
n
+
1
)
ln
(
n
+
1
)
=
n
ln
(
n
)
a
n
a
n
+
1
−
n
ln
(
n
+
1
)
−
ln
(
n
+
1
)
=
n
ln
(
n
)
a
n
a
n
+
1
−
n
(
ln
(
1
+
1
n
)
+
ln
(
n
)
)
−
(
ln
(
1
+
1
n
)
+
ln
(
n
)
)
=
n
ln
(
n
)
a
n
a
n
+
1
−
(
n
+
1
)
ln
(
1
+
1
n
)
−
n
ln
(
n
)
−
ln
(
n
)
=
ln
(
n
)
(
n
a
n
a
n
+
1
−
n
−
1
)
−
ln
(
1
+
1
n
)
n
+
1
=
ln
(
n
)
(
n
(
a
n
a
n
+
1
−
1
)
−
1
)
−
ln
(
1
+
1
n
)
n
+
1
=
B
n
−
ln
(
1
+
1
n
)
n
+
1
{\displaystyle {\begin{aligned}K_{n}&:=c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-c_{n+1}=n\ln(n){\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-(n+1)\ln(n+1)\\&=n\ln(n){\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-n\ln(n+1)-\ln(n+1)\\&=n\ln(n){\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-n\left(\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)+\ln(n)\right)-\left(\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)+\ln(n)\right)\\&=n\ln(n){\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-(n+1)\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)-n\ln(n)-\ln(n)\\&=\ln(n)\left(n{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-n-1\right)-\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}\\&=\ln(n)\left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right)-\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}\\&=B_{n}-\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}\end{aligned}}}
.
Mit der Stetigkeit des Logarithmus und dem bekannten Grenzwert
lim
n
→
∞
(
1
+
1
n
)
n
+
1
=
e
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}=e}
folgt für
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
:
K
=
B
−
ln
(
e
)
=
B
−
1
{\displaystyle K=B-\ln(e)=B-1}
,
wobei
K
,
B
∈
R
¯
{\displaystyle K,B\in {\overline {\mathbb {R} }}}
und
K
:=
lim
n
→
∞
K
n
{\displaystyle K:=\lim _{n\to \infty }K_{n}}
gilt.
(
c
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (c_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
erfüllt nun nach Konstruktion die Bedingungen des Kriteriums von Kummer . Aus Letzterem folgt für
A
{\displaystyle A}
:
A
:
{
konvergent
K
>
0
⇔
B
>
1
divergent
K
<
0
⇔
B
<
1
{\displaystyle A\colon {\begin{cases}{\text{konvergent}}&K>0\Leftrightarrow B>1\\{\text{divergent}}&K<0\Leftrightarrow B<1\end{cases}}}
.[ 1]
↑ Markus Oster, Nicolai Lang; Christian Barth: Lösungen zum Arbeitsblatt I. (PDF; 155 kB) Vorlesung Analysis II (SoSe 2009). 25. Oktober 2009, S. 7/28 S. , abgerufen am 23. Dezember 2012 .