In der Mathematik ist der beobachtbare Durchmesser (engl.: observable diameter) ein Begriff aus der Theorie metrischer Maßräume.
Sei
ein metrischer Maßraum und definiere den Durchmesser
![{\displaystyle \operatorname {diam} (A):=\sup \limits _{x,y\in X}\{d_{X}(x,y)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/678874733b7ff013068430148a56ed262fe0e976)
bezüglich der Metrik.
Für eine reelle Zahl
wird zunächst der
-partielle Durchmesser bezüglich
definiert
![{\displaystyle \operatorname {ParDiam} _{\mu _{X}}(X,-\kappa ):=\inf \limits _{A\in \{A\subset X\colon \mu _{X}(A)\geq 1-\kappa \}}\operatorname {diam} (A),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22a347c1c7f761811867a19258c7230c4caed683)
das heißt das Infimum der Durchmesser der Teilmengen
, für deren Maß
gilt.
Sei
der Raum der Lipschitz-stetigen Abbildungen
mit Lipschitz-Konstante
und
das Bildmaß unter der Funktion
. Der
-beobachtbare Durchmesser
von
bezüglich
ist definiert als
![{\displaystyle \operatorname {ObsDiam} _{\mu _{X}}(X,-\kappa ):=\sup \limits _{f\in \operatorname {Lip} _{1}(X,\mathbb {R} )}\operatorname {ParDiam} _{f_{*}\mu _{X}}(\mathbb {R} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60062e52ba5b414155e26f22ede2316872932846)
das heißt das Supremum der
-partiellen Durchmesser von
bezüglich der Bildmaße
der
-Lipschitz-Funktionen.
Für
erhält man den Durchmesser von
und für
ist
.
Eine Folge metrischer Maßräume
wird als Lévy-Familie bezeichnet, wenn es ein
gibt mit
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {ObsDiam} _{\mu _{X_{n}}}(X_{n},-\kappa )=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/857ea6784cc7ed57c2d5901bd390ccee520a2cf3)
Zum Beispiel ist eine Folge runder Sphären
genau dann eine Lévy-Familie, wenn
gilt.
Der beobachtbare Durchmesser lässt sich in Beziehung zum Trennungsabstand (engl.: separation distance) setzen, der wiederum in Beziehung zu den Eigenwerten des Laplace-Operators (mit Neumann-Randbedingungen) steht.
Für geschlossene,
-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeiten
mit Ricci-Krümmung
gilt
![{\displaystyle \operatorname {ObsDiam} _{\mu _{M}}(M,-\kappa )\leq \operatorname {ObsDiam} _{\mu _{M}}(S^{n}(1),-\kappa )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e4c1eb1bdb75b75528166e25afc323386c9c737)
für alle
.
- M. Gromov: Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces. Transl. from the French by Sean Michael Bates. With appendices by M. Katz, P. Pansu, and S. Semmes. Edited by J. LaFontaine and P. Pansu. Modern Birkhäuser Classics. Basel: Birkhäuser (2007) ISBN 978-0-8176-4582-3/pbk
- Takashi Shioya: Metric measure geometry. Gromov's theory of convergence and concentration of metrics and measures. Hrsg.: EMS Press. 2016, ISBN 978-3-03719-158-3, doi:10.4171/158, arxiv:1410.0428 (englisch).