Lychrel-Zahl

Bei den Lychrel-Zahlen handelt es sich um bestimmte natürliche Zahlen, die sich der Palindrombildung durch einen bestimmten Algorithmus, dem 196-Algorithmus, widersetzen.

Der Name Lychrel stammt von Wade VanLandingham und hat keine besondere Bedeutung, außer dass vor der Benennung dieser Zahlen Google kein Suchergebnis für Lychrel lieferte und es in keinem Wörterbuch verzeichnet war; außerdem ist es ein ungefähres Anagramm zu dem Namen der Freundin von VanLandingham („Cheryl“).

Eigenschaften der Lychrel-Zahlen

Jede natürliche Zahl $n$, die nicht durch eine endliche Anzahl von Inversionen und Additionen zu einem Zahlen-Palindrom führt, wird als Lychrel-Zahl bezeichnet. Als Inversion versteht man hier das Bilden der spiegelverkehrten Zahl $m$. Führt die Addition $n+m$ dabei zu einem Zahlenpalindrom, ist der Algorithmus beendet. Falls nicht, wird durch erneute Inversion und Addition dieser Vorgang so lange ausgeführt, bis das Ergebnis ein Palindrom ist.

Beispiele

• Man nimmt die Zahl 5273. Die spiegelverkehrte Zahl dazu lautet 3725 (Inversion). Durch Addition erhält man das Zahlenpalindrom 8998.

• Bei anderen Zahlen kann dieser Algorithmus länger dauern:

4753 + 3574 = 8327

8327 + 7238 = 15565

15565 + 56551 = 72116

72116 + 61127 = 133243

133243 + 342331 = 475574 (ein Palindrom)

• Die Lychrel-Zahlen widersetzen sich der Palindrombildung. Die kleinste Lychrel-Zahl ist vermutlich die Zahl 196. Ein mathematischer Beweis dafür, dass ausgehend von 196 die Inversion definitiv nie ein Palindrom ergeben wird, existiert bisher aber nicht. Auch die sehr große Anzahl von gerechneten Iterationen (knapp 725 Millionen) lässt keine Aussage über die Gültigkeit dieser Vermutung zu. Siehe unten.

Rekorde

Nach der Anzahl der Iterationen, bei möglichst kleiner Anfangszahl

(Anfangszahl kleiner als 100.000, Kandidaten für Lychrel-Zahlen ausgenommen)

Zahl	Iter- ationen	Palindrom
		Stellen	Zahl
1	1	1	2
5	2	2	11
59	3	4	1.111
69	4	4	4.884
79	6	5	44.044
89	24	13	8.813.200.023.188
10.548	30	17	17.858.768.886.785.871
10.677	53	28	4.668.731.596.684.224.866.951.378.664
10.833	54	28	4.668.731.596.684.224.866.951.378.664
10.911	55	28	4.668.731.596.684.224.866.951.378.664

Der Rekord liegt momentan bei 261 Iterationsschritten, dies benötigt die Zahl 1.186.060.307.891.929.990 (19 Stellen), um auf ein 119-stelliges Palindrom zu kommen.

Berechnung

Mit Stand von April 2009 wurde der Algorithmus bei allen bis 18-stelligen Zahlen ausgeführt, bis Januar 2010 wurde er außerdem bei 55 Prozent aller 19-stelligen Zahlen angewandt (Kandidaten für Lychrel-Zahlen ausgenommen).

Lychrel-Zahlen

Die Lychrel-Zahlen widersetzten sich diesem Algorithmus, das heißt, dass – auch nach unendlich vielen Iterationsschritten – kein Palindrom entsteht.

Momentan existiert kein mathematisches Verfahren, um sicher festzustellen, ob eine Zahl eine Lychrel-Zahl ist, so dass bis heute nicht einmal sicher ist, ob sie überhaupt existieren.

Kleinster gefundener Kandidat für Lychrel-Zahlen

Die 196 ist die kleinste Zahl, die durch den Algorithmus bisher noch nicht in ein Palindrom umgewandelt werden konnte. Da dies der kleinste Lychrel-Kandidat ist, ist diese Zahl bisher am besten untersucht. Bis zum 1. Mai 2006 berechnete Wade VanLandingham elektronisch 724.756.966 Iterationen, ausgehend von der 196. Die letzte Ergebniszahl hatte 300.000.000 Stellen und war immer noch kein Palindrom. Die Berechnung begann im August 2001 und dauerte fast fünf Jahre, wobei hier erwähnt werden muss, dass man dabei schon auf eine bereits durchgeführte Berechnung bis zu einem 14.000.000-stelligen Ergebnis (33.824.775 durchgeführte Iterationen) zurückgreifen konnte, dessen erste Ergebnisse schon Anfang der 1990er Jahre ausgerechnet worden waren.

Kandidaten für Lychrel-Zahlen kleiner als 10000 sind

• zwischen 1 und 999:
  196, 295, 394, 493, 592, 689, 691, 788, 790, 879, 887, 978, 986
• zwischen 1000 und 1999:
  1495, 1497, 1585, 1587, 1675, 1677, 1765, 1767, 1855, 1857, 1945, 1947, 1997
• zwischen 2000 und 2999:
  2494, 2496, 2584, 2586, 2674, 2676, 2764, 2766, 2854, 2856, 2944, 2946, 2996
• zwischen 3000 und 3999:
  3493, 3495, 3583, 3585, 3673, 3675, 3763, 3765, 3853, 3855, 3943, 3945, 3995
• zwischen 4000 und 4999:
  4079, 4169, 4259, 4349, 4439, 4492, 4494, 4529, 4582, 4584, 4619, 4672, 4674, 4709, 4762, 4764, 4799, 4852, 4854, 4889, 4942, 4944, 4979, 4994
• zwischen 5000 und 5999:
  5078, 5168, 5258, 5348, 5438, 5491, 5493, 5528, 5581, 5583, 5618, 5671, 5673, 5708, 5761, 5763, 5798, 5851, 5853, 5888, 5941, 5943, 5978, 5993
• zwischen 6000 und 6999:
  6077, 6167, 6257, 6347, 6437, 6490, 6492, 6527, 6580, 6582, 6617, 6670, 6672, 6707, 6760, 6762, 6797, 6850, 6852, 6887, 6940, 6942, 6977, 6992
• zwischen 7000 und 7999:
  7059, 7076, 7149, 7166, 7239, 7256, 7329, 7346, 7419, 7436, 7491, 7509, 7526, 7581, 7599, 7616, 7671, 7689, 7706, 7761, 7779, 7796, 7851, 7869, 7886, 7941, 7959, 7976, 7991
• zwischen 8000 und 8999:
  8058, 8075, 8079, 8089, 8148, 8165, 8169, 8179, 8238, 8255, 8259, 8269, 8328, 8345, 8349, 8359, 8418, 8435, 8439, 8449, 8490, 8508, 8525, 8529, 8539, 8580, 8598, 8615, 8619, 8629, 8670, 8688, 8705, 8709, 8719, 8760, 8778, 8795, 8799, 8809, 8850, 8868, 8885, 8889, 8899, 8940, 8958, 8975, 8979, 8989, 8990
• zwischen 9000 und 9999:
  9057, 9074, 9078, 9088, 9147, 9164, 9168, 9178, 9237, 9254, 9258, 9268, 9327, 9344, 9348, 9358, 9417, 9434, 9438, 9448, 9507, 9524, 9528, 9538, 9597, 9614, 9618, 9628, 9687, 9704, 9708, 9718, 9777, 9794, 9798, 9808, 9867, 9884, 9888, 9898, 9957, 9974, 9978, 9988

Verteilung der Kandidaten für Lychrel-Zahlen

Anzahl der Kandidaten	Zahlenraum
013	0000 bis 0999
013	1000 bis 1999
013	2000 bis 2999
013	3000 bis 3999
024	4000 bis 4999
024	5000 bis 5999
024	6000 bis 6999
029	7000 bis 7999
051	8000 bis 8999
045	9000 bis 9999
249	0000 bis 9999

Die ersten Iterationen für kleine Kandidaten

Die Zeilen listen jeweils Kandidaten für Lychrel-Zahlen auf, wobei übereinander stehende Zahlen jeweils Inverse voneinander sind. Hinter dem Punkt folgen die Kandidaten, die auf Null enden. Hinter dem Pfeil steht die gemeinsame Summe der Paare.

• 196, 295, 394
  691, 592, 493 • 790 → 887
• 689, 788
  986, 887 → 1675
• 1495, 1585, 1675, 1765, 1855, 1945, 2494, 2584, 2674, 2764, 2854, 2944, 3493, 3583, 3673
  5941, 5851, 5761, 5671, 5581, 5491, 4942, 4852, 4762, 4672, 4582, 4492, 3943, 3853, 3763 • 6490, 6580, 6670, 6760, 6850, 6940 → 7436
• 4079, 4169, 4259, 4349, 4439, 4529, 4619, 4709, 5078, 5168, 5258, 5348, 5438, 5528, 5618, 5708, 6077, 6167, 6257, 6347, 6437, 6527, 6617, 6707
  9704, 9614, 9524, 9434, 9344, 9254, 9164, 9074, 8705, 8615, 8525, 8435, 8345, 8255, 8165, 8075, 7706, 7616, 7526, 7436, 7346, 7256, 7166, 7076 → 13783

• 4799, 4889, 4979, 5798, 5888, 5978, 6797, 6887, 6977
  9974, 9884, 9794, 8975, 8885, 8795, 7976, 7886, 7796 → 14773

• 7059, 7149, 7239, 7329, 7419, 7509, 8058, 8148, 8238,
  9507, 9417, 9327, 9237, 9147, 9057, 8508, 8418, 8328 → 16566

• 7599, 7689, 7779, 7869, 7959, 8598, 8688
  9957, 9867, 9777, 9687, 9597, 8958, 8868 • 8778 → 17556

• 879
  978 → 1857
• 1497, 1587, 1677, 1767, 1857, 1947, 2496, 2586, 2676, 2766, 2856, 2946, 3495, 3585, 3675, 3765, 3855, 3945, 4494, 4584, 4674
  7941, 7851, 7761, 7671, 7581, 7491, 6942, 6852, 6762, 6672, 6582, 6492, 5943, 5853, 5763, 5673, 5583, 5493, 4944, 4854, 4764 • 8490, 8580, 8670, 8760, 8850, 8940 → 9438
• 8079, 8169, 8259, 8349, 8439, 8529, 8619, 8709
  9708, 9618, 9528, 9438, 9348, 9258, 9168, 9078 → 17787

• 8089, 8179, 8269, 8359, 8449, 8539, 8629, 8719, 8809
  9808, 9718, 9628, 9538, 9448, 9358, 9268, 9178, 9088 → 17897

• 8799, 8889, 8979
  9978, 9888, 9798 → 18777

• 1997, 2996, 3995
  7991, 6992, 5993 • 4994 • 8990 → 9988
• 8899, 8989
  9988, 9898 → 18887

Weblinks

• Website über die Lychrel-Zahlen (englisch)
• Seite über Rekorde und Entwicklungen im Bereich Lychrel-Zahlen (englisch)
• Online-Rechenprogramm für den 196-Algorithmus (englisch),  Zahl einfach nach dem URL (http://www.jasondoucette.com/pal/) eingeben
• http://www.p196.org/files.html (englisch) bietet u. a. die Möglichkeit, sich alle bis zu einschließlich 5-stelligen Zahlen und die Anzahl an Iterationsschritten, die sie benötigen, um auf ein Palindrom zu kommen, herunterzuladen (Abschnitt „Palindrome Delays“)
• Einige mathematische Überlegungen und Diskussionen zu Lychrel-Zahlen (englisch). Abgerufen am 17. Januar 2022