Macdonald-Polynome

Die Macdonald-Polynome sind in der Mathematik eine Familie von orthogonalen symmetrischen Polynomen in mehreren Variablen. Sie verallgemeinern eine große Familie von orthogonalen Polynomen wie die Schur-Funktionen, Hall-Littlewood-Polynome und die Askey-Wilson-Polynome.

Sie wurden 1988 von Ian Macdonald eingeführt.

Definition

Notation

• $\Lambda _{n}=\mathbb {Z} [x_{1},\dots ,x_{n}]^{{\mathfrak {S}}_{n}}=\bigoplus \limits _{r\geq 0}\Lambda _{n}^{r}$ bezeichnet den graduierten Subring der symmetrischen Polynome, wobei die Notation bedeutet, dass die symmetrische Gruppe ${\mathfrak {S}}_{n}$ auf dem Polynomring $\mathbb {Z} [x_{1},\dots ,x_{n}]$ operiert. $\Lambda =\varprojlim _{n}\bigoplus \limits _{r\geq 0}\Lambda _{n}^{r}$ bezeichnet den Limes.
• $F:=\mathbb {Q} (q,t)$ bezeichnet der Körper der rationalen Funktionen in $q$ und $t$.
• $\Lambda _{F}:=\Lambda \otimes _{\mathbb {Z} }F$ ist der graduierte Ring der symmetrischen Funktionen mit Koeffizienten in $F$
• $\Lambda _{n,F}:=\Lambda _{n}\otimes _{\mathbb {Z} }F$ ist der graduierte Ring der symmetrischen Polynome mit $n$ Unbestimmten und Koeffizienten in $F$.
• $\lambda =(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{r},\dots )$ ist eine Partition und $l(\lambda )$ die Anzahl der von Null verschiedenen Teile. Wenn $\lambda$ aus $m_{1}$ Teilen gleich $1$ und $m_{2}$ Teilen gleich $2$ besteht, dann schreiben wir $\lambda =(1^{m_{1}}2^{m_{2}},\dots )$.
• $\lambda \prec \mu$ bezeichnet die Dominanz-Ordnung für zwei Partitionen, in Formeln:

$\lambda \prec \mu \quad :\!\iff \quad |\lambda |=|\mu |\;\land \;\lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}\leq \mu _{1}+\dots +\mu _{n}$ für alle $n\geq 1$.

• $m_{\lambda }$ ist die monomiale symmetrische Funktion

$m_{\lambda }(x)=\sum \limits _{\alpha \sim \lambda }x^{\alpha }=\sum \limits _{\alpha \sim \lambda }x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}$

wobei $\alpha \sim \lambda$ bedeutet, dass $\alpha$ eine Permutation der Elemente von $\lambda$ ist. Die Menge $\{m_{\lambda }\}$ mit allen Partitionen $\lambda$ mit höchstens $n$ Teilen bildet eine lineare Basis für $\Lambda _{n}$.

Für allgemeine Wurzelsysteme

• $R$ bezeichnet ein reduziertes Wurzelsystem eines Vektorraumes $V$ mit Zerlegung $R=R_{+}\cup (-R^{+})$.
• $P^{+}:=\{\lambda \in V|(\lambda ,\alpha ^{\vee })\in \mathbb {Z} _{+}\;\forall \alpha \in R^{+}\}$ bezeichnet die Menge der dominanten Gewichte ($\alpha ^{\vee }$ sind die Kowurzeln), d. h. die fundamentale Weyl-Kammer.

Einleitung

Macdonald-Polynome können auch ohne Lie-Theorie verstanden werden, deshalb steht die Information zu allgemeinen Wurzelsystemen in der Klammer.

Macdonald-Polynome

Sei $\lambda$ eine Partition ($\lambda \in P^{+}$). Die Macdonald-Polynome $P_{\lambda }:=P_{\lambda }(x;q,t)\in \Lambda _{F}$ (mit Wurzelsystem vom Typ $A$) lassen sich als Eigenfunktionen eines Operators oder explizit über ein inneres Produkt definieren.

Definition über den Operator

Sei $T_{q,x_{i}}$ der Shiftoperator

$f(x_{1},\dots ,x_{n})\mapsto f(x_{1},\dots ,x_{i-1},qx_{i},x_{i+1},\dots ,x_{n})$,

dann sind die Macdonald-Polynome $P_{\lambda }$ die Eigenfunktionen des Operators $D:\Lambda _{n,F}\to \Lambda _{n,F}$

$D=\sum \limits _{i=1}^{n}\prod \limits _{i\neq j}{\frac {(tx_{i}-x_{j})}{(x_{i}-x_{j})}}T_{q,x_{i}}$

mit Eigenwerten $\sum \limits _{i=1}^{n}q^{\lambda _{i}}t^{n-i}.$

Definition als explizite Polynome

Sei $\lambda \in P_{+}$ eine Partition, dann sind die dazugehörigen Macdonald-Polynome $P_{\lambda }$ die eindeutigen symmetrischen Funktionen, welche folgende zwei Bedingungen erfüllen

1. $P_{\lambda }=m_{\lambda }+\sum \limits _{\mu \prec \lambda }u_{\lambda \mu }m_{\mu },\quad {\text{mit }}\;u_{\lambda \mu }\in F$.
2. $\langle P_{\lambda },P_{\mu }\rangle _{(q,t)}=0,\qquad {\text{falls }}\;\mu \neq \lambda$

wobei das Skalarprodukt wie folgt definiert ist

$\langle p_{\lambda },p_{\mu }\rangle _{(q,t)}=\delta _{\lambda \mu }z_{\lambda }(q,t)=\delta _{\lambda \mu }\left(\prod \limits _{i\geq 1}i^{m_{i}}(m_{i}!)\right)\prod \limits _{i=1}^{l(\lambda )}{\frac {1-q^{\lambda _{i}}}{1-t^{\lambda _{i}}}}$

wobei $z_{\lambda }(q,t)$ das $q,t$-Analogon des Hall-Skalarproduktes bezeichnet

$z_{\lambda }(q,t)=z_{\lambda }\prod \limits _{i=1}^{l(\lambda )}{\frac {1-q^{\lambda _{i}}}{1-t^{\lambda _{i}}}}$

mit $z_{\lambda }=\prod \limits _{i\geq 1}i^{m_{i}}(m_{i}!)$ für $\lambda =1^{m_{1}}2^{m_{2}}\cdots$.

Eigenschaften

Dualität

Definiere $Q_{\lambda }={\tfrac {P_{\lambda }}{\langle P_{\lambda },P_{\mu }\rangle }}$ und den Automorphismus $\omega _{q,t}:\Lambda _{F}\to \Lambda _{F}$

$\omega _{q,t}(p_{r})=(-1)^{r-1}{\tfrac {1-q^{r}}{1-t^{r}}}p_{r}$,

sei $\lambda$ eine Partition und $\lambda '$ die konjugierte Partition (d. h. im Young-Tableau werden Zeilen mit Spalten vertauscht), dann gilt

$\omega _{q,t}P_{\lambda }(q,t)=Q_{\lambda '}(t,q)$

oder äquivalent

$\omega _{q,t}Q_{\lambda }(q,t)=P_{\lambda '}(t,q).$

Beispiele

• $P_{\lambda }(x;q,q)$ sind die Schur-Funktionen.
• $P_{\lambda }(x;0,t)$ sind die Hall-Littlewood-Polynome.
• $\lim \limits _{t\to 1}P_{\lambda }(x;t^{\alpha },t)$ sind die Jack-Symmetrischen-Funktionen.
• $P_{\lambda }(x;q,1)=m_{\lambda }$ (monomial-symmetrischen Funktionen).
• $P_{\lambda }(x;1,t)=e_{\lambda }$ (elementar-symmetrischen Funktionen).

Literatur

• I. G. Macdonald: A new class of symmetric functions. In: Universität Wien, Fakultät für Mathematik (Hrsg.): Séminaire Lotharingien de Combinatoire. Band 20, 1988, S. B20a, 41 p.-B20a, 41 p. (englisch, eudml.org). 
• I. G. Macdonald: Symmetric functions and Hall polynomials. Hrsg.: Oxford University Press. 2. Auflage. New York, ISBN 978-0-19-873912-8.