Mittag-Leffler-Funktion

Die Mittag-Leffler-Funktion ist eine nach dem Mathematiker Magnus Gösta Mittag-Leffler benannte mathematische Funktion, die in den Lösungen von bestimmten fraktionalen Integralgleichungen auftaucht (z. B. bei der Untersuchung von Zufallsbewegungen oder Lévy-Flügen). Sie ist gegeben durch

$\mathrm {E} _{\alpha }(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{\Gamma (\alpha k+1)}}$,

wobei $\Gamma (x)$ die Gammafunktion ist. Die Reihe konvergiert für alle $\alpha$ mit positivem Realteil. Im Spezialfall $\alpha =1$ ergibt sich die Exponentialfunktion.

Die verallgemeinerte Mittag-Leffler-Funktion beschreibt eine Interpolation zwischen exponentiellem und polynomialen Verhalten und ist gegeben durch

$\mathrm {E} _{\alpha ,\beta }(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{\Gamma (\alpha k+\beta )}}$.

Spezialfälle dieser Funktion sind

• Gaußsche Fehlerfunktion:

$E_{1/2,1}(z)=\exp(z^{2})\operatorname {erfc} (-z)$

• Hyperbelsinus:

$E_{2,1}(z)=\cosh({\sqrt {z}})$

Literatur

• M.G. Mittag-Leffler: Sur la nouvelle fonction E_alpha(x). In: Comptes Rendus de l'Académie des sciences 137/1903, S. 554–558.
• R.K. Saxena, A.M. Mathai, H.J. Haubold: On Fractional Kinetic Equations. In: Astrophysics & Space Science 282/2002, S. 281–287 (ISSN 0004-640X), (pdf-Version).

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Mittag-Leffler Function. In: MathWorld (englisch).