Originalpublikation aus dem Jahr 1808 Die mollweideschen Formeln , benannt nach dem deutschen Mathematiker und Astronomen Carl Brandan Mollweide , sind trigonometrische Formeln, die für beliebige Dreiecke gelten.
Bezeichnungen der Seiten und Winkel
(
b
+
c
)
sin
(
α
2
)
=
a
cos
(
β
−
γ
2
)
{\displaystyle (b+c)\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=a\cos \left({\frac {\beta -\gamma }{2}}\right)}
(
b
−
c
)
cos
(
α
2
)
=
a
sin
(
β
−
γ
2
)
{\displaystyle (b-c)\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=a\sin \left({\frac {\beta -\gamma }{2}}\right)}
(
c
+
a
)
sin
(
β
2
)
=
b
cos
(
γ
−
α
2
)
{\displaystyle (c+a)\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)=b\cos \left({\frac {\gamma -\alpha }{2}}\right)}
(
c
−
a
)
cos
(
β
2
)
=
b
sin
(
γ
−
α
2
)
{\displaystyle (c-a)\cos \left({\frac {\beta }{2}}\right)=b\sin \left({\frac {\gamma -\alpha }{2}}\right)}
(
a
+
b
)
sin
(
γ
2
)
=
c
cos
(
α
−
β
2
)
{\displaystyle (a+b)\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)=c\cos \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}
(
a
−
b
)
cos
(
γ
2
)
=
c
sin
(
α
−
β
2
)
{\displaystyle (a-b)\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)=c\sin \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}
Sinussatz :
b
a
=
sin
(
β
)
sin
(
α
)
;
{\displaystyle {b \over a}={\sin(\beta ) \over \sin(\alpha )};\quad }
(1)
c
a
=
sin
(
γ
)
sin
(
α
)
;
{\displaystyle {c \over a}={\sin(\gamma ) \over \sin(\alpha )};\quad }
(2) Sinusidentitäten :
sin
(
β
)
+
sin
(
γ
)
=
2
⋅
sin
(
β
+
γ
2
)
⋅
cos
(
β
−
γ
2
)
;
{\displaystyle \sin(\beta )+\sin(\gamma )=2\cdot \sin \left({\beta +\gamma \over 2}\right)\cdot \cos \left({\beta -\gamma \over 2}\right);\quad }
(3)
sin
(
β
)
−
sin
(
γ
)
=
2
⋅
cos
(
β
+
γ
2
)
⋅
sin
(
β
−
γ
2
)
;
{\displaystyle \sin(\beta )-\sin(\gamma )=2\cdot \cos \left({\beta +\gamma \over 2}\right)\cdot \sin \left({\beta -\gamma \over 2}\right);\quad }
(4) Sinus-Additionstheorem für Doppelwinkel :
sin
(
α
)
=
sin
(
2
⋅
α
2
)
=
2
⋅
sin
(
α
2
)
⋅
cos
(
α
2
)
;
{\displaystyle \sin(\alpha )=\sin \left(2\cdot {\alpha \over 2}\right)=2\cdot \sin \left({\alpha \over 2}\right)\cdot \cos \left({\alpha \over 2}\right);\quad }
(5) Winkelsumme im Dreieck und Übergang zum Komplementärwinkel :
sin
(
β
+
γ
2
)
=
sin
(
180
∘
−
α
2
)
=
sin
(
90
∘
−
α
2
)
=
cos
(
α
2
)
;
{\displaystyle \sin \left({\beta +\gamma \over 2}\right)=\sin \left({180^{\circ }-\alpha \over 2}\right)=\sin \left(90^{\circ }-{\alpha \over 2}\right)=\cos \left({\alpha \over 2}\right);\quad }
(6)
cos
(
β
+
γ
2
)
=
cos
(
180
∘
−
α
2
)
=
cos
(
90
∘
−
α
2
)
=
sin
(
α
2
)
;
{\displaystyle \cos \left({\beta +\gamma \over 2}\right)=\cos \left({180^{\circ }-\alpha \over 2}\right)=\cos \left(90^{\circ }-{\alpha \over 2}\right)=\sin \left({\alpha \over 2}\right);\quad }
(7) Addition von (1) und (2), Anwendung von (3) und (5), Kürzen unter Verwendung von (6):
b
+
c
a
=
sin
(
β
)
+
sin
(
γ
)
sin
(
α
)
=
{\displaystyle {b+c \over a}={\sin(\beta )+\sin(\gamma ) \over \sin(\alpha )}=}
2
⋅
sin
(
β
+
γ
2
)
⋅
cos
(
β
−
γ
2
)
2
⋅
sin
(
α
2
)
⋅
cos
(
α
2
)
=
{\displaystyle {\frac {2\cdot \sin \left({\beta +\gamma \over 2}\right)\cdot \cos \left({\beta -\gamma \over 2}\right)}{2\cdot \sin({\alpha \over 2})\cdot \cos({\alpha \over 2})}}=}
cos
(
β
−
γ
2
)
sin
(
α
2
)
;
{\displaystyle {\frac {\cos \left({\beta -\gamma \over 2}\right)}{\sin({\alpha \over 2})}};}
Subtraktion von (1) - (2), Anwendung von (4) und (5), Kürzen unter Verwendung von (7):
b
−
c
a
=
sin
(
β
)
−
sin
(
γ
)
sin
(
α
)
=
2
⋅
cos
(
β
+
γ
2
)
⋅
sin
(
β
−
γ
2
)
2
⋅
sin
(
α
2
)
⋅
cos
(
α
2
)
=
sin
(
β
−
γ
2
)
cos
(
α
2
)
;
{\displaystyle {b-c \over a}={\sin(\beta )-\sin(\gamma ) \over \sin(\alpha )}={\frac {2\cdot \cos \left({\beta +\gamma \over 2}\right)\cdot \sin \left({\beta -\gamma \over 2}\right)}{2\cdot \sin({\alpha \over 2})\cdot \cos({\alpha \over 2})}}={\frac {\sin \left({\beta -\gamma \over 2}\right)}{\cos({\alpha \over 2})}};}
Multiplikation mit dem gemeinsamen Nenner ergibt die angegebenen Formeln. Die anderen beiden Formeln, die eine Summe bzw. eine Differenz zweier Seiten enthalten, entstehen durch zyklische Substitution der Seiten- und Winkelbezeichnungen.
Bezeichnungen der Seiten und Winkel Im rechtwinkligen Dreieck
△
A
F
B
{\displaystyle \triangle AFB}
|
F
B
|
=
c
sin
(
α
−
β
2
)
{\displaystyle |FB|=c\sin \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}
△
E
F
B
{\displaystyle \triangle EFB}
|
F
B
|
=
(
a
−
b
)
cos
(
γ
2
)
{\displaystyle |FB|=(a-b)\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}
(
a
−
b
)
cos
(
γ
2
)
=
c
sin
(
α
−
β
2
)
{\displaystyle (a-b)\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)=c\sin \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}
Betracht man die Strecke
A
F
{\displaystyle AF}
|
A
F
|
=
|
A
D
|
+
|
D
E
|
+
|
E
F
|
=
b
sin
(
γ
2
)
+
b
sin
(
γ
2
)
+
(
a
−
b
)
sin
(
γ
2
)
=
(
a
+
b
)
sin
(
γ
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}|AF|&=|AD|+|DE|+|EF|\\&=b\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)+b\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)+(a-b)\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\&=(a+b)\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\end{aligned}}}
Im rechtwinkligen Dreieck
△
A
F
B
{\displaystyle \triangle AFB}
|
A
F
|
=
c
cos
(
α
−
β
2
)
{\displaystyle |AF|=c\cos \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}
(
a
+
b
)
sin
(
γ
2
)
=
c
cos
(
α
−
β
2
)
{\displaystyle (a+b)\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)=c\cos \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}
[ 1] Die Formeln wurden in der heutigen Darstellung 1808 von Mollweide veröffentlicht und verbreiteten sich anschließend unter seinen Namen. Allerdings waren sie schon vorher anderen Mathematikern bekannt. Die Kosinusgleichungen finden sich bereits in Isaac Newtons Arithmetica Universalis (1707). Sowohl die Sinus- als auch die Kosinusvariante finden sich als geometrische Lehrsätze in Analysis triangulorum (1746) von F. W. de Oppel . Ebenfalls noch vor Mollweide finden sich die Formeln auch in Werken von Thomas Simpson (1748), Antoine-René Mauduit (1765) und Antonio Cagnoli (1786).[ 2]
C. B. Mollweide: Zusätze zur ebenen und sphärischen Trigonometrie. In: Monatliche Correspondenz zur Beförderung der Erd- und Himmels-Kunde, 1808, Seiten 394–400.
Heinz Klaus Strick: Karl B. Mollweide (1774–1825): Auf der Jagd nach der besten Karte
Natanael Karjanto: Mollweide's Formula in Teaching Trigonometry . In: Teaching Mathematics and Its Applications , 30, S. 70–74, arXiv:1808.08049, doi:10.1093/teamat/hrr008
Rex H. Wu: Proof Without Words: The Mollweide Equations from the Law of Sines . In: Mathematics Magazine , 93 (5), S. 386
↑ Natanael Karjanto: Mollweide's Formula in Teaching Trigonometry . In: Teaching Mathematics and Its Applications , 30, S. 70–74, arXiv:1808.08049, doi:10.1093/teamat/hrr008
↑ Johannes Tropfke : Geschichte der Elementarmathematik. Band 5 . de Gruyter,2-te erweiterte Auflage, 1923, S. 85 
