Montesinos-Knoten

In der Knotentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Montesinos-Knoten bzw. Montesinos-Verschlingungen eine Klasse von Knoten bzw. Verschlingungen. Fast 25 % aller Knoten mit bis zu 11 Überkreuzungen sind Montesinos-Knoten.

Definition

Die Montesinos-Verschlingung $K(-3,-{\frac {3}{2}},{\frac {5}{2}})$.

Seien $e$ eine ganze Zahl und ${\tfrac {p_{1}}{q_{1}}},\ldots ,{\tfrac {p_{n}}{q_{n}}}$ rationale Zahlen. Die $(e,{\tfrac {p_{1}}{q_{1}}},\ldots ,{\tfrac {p_{n}}{q_{n}}})$-Montesinos-Verschlingung ist eine aus $n+1$ rationalen Tangles bestehende Verschlingung, deren $i$-ter Tangle in der Conway-Notation der rationalen Zahl ${\tfrac {p_{i}}{q_{i}}}$ entspricht.

Falls die Verschlingung zusammenhängend ist, handelt es sich um den $(e,{\tfrac {p_{1}}{q_{1}}},\ldots ,{\tfrac {p_{n}}{q_{n}}})$-Montesinos-Knoten.

Montesinos-Knoten mit ganzzahligen Koeffizienten (also $q_{1}=\ldots =q_{n}=1$) werden als Brezelknoten bezeichnet.

Verzweigte Überlagerungen

Montesinos-Knoten $K\subset S^{3}$ werden durch folgende Eigenschaft charakterisiert: Die 2-fache verzweigte Überlagerung der $S^{3}$ über $K$ ist eine Seifert-Faserung mit der 2-Sphäre als Basis.

Dies verallgemeinert Schuberts Charakterisierung rationaler Knoten. (In diesem Fall ist die 2-fache verzweigte Überlagerung ein Linsenraum.)

Noch allgemeiner wurde von Montesinos gezeigt, dass die 2-fache verzweigte Überlagerung über einem arboreszenten Knoten eine Graph-Mannigfaltigkeit ist.

Klassifikation

Eine Klassifikation der Montesinos-Knoten und Montesinos-Verschlingungen wurde 1979 von Bonahon bewiesen, andere Beweise der Klassifikation gaben Zieschang und Turaev.

Das Ergebnis der Klassifikation ist: Montesinos-Verschlingungen aus $n+1$ rationalen Tangles, mit $n\geq 3$ und $\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{q_{i}}}\leq n-2$, werden klassifiziert durch die geordnete Menge

$\left({\frac {p_{1}}{q_{1}}}\mod \ 1,\ldots ,{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\mod \ 1\right)$

(bis auf zyklische Permutationen und Umkehrung der Reihenfolge) zusammen mit der rationalen Zahl

$e_{0}=e+\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{q_{i}}}$.

Alternativ werden Montesinos-Verschlingungen klassifiziert durch die Quotienten der Knotengruppe nach dem von den Meridianen erzeugten Normalteiler.

Literatur

• Gerhard Burde, Heiner Zieschang: Knots. (= de Gruyter Studies in Mathematics. 5). 2. Auflage. Walter de Gruyter & Co., Berlin 2003, ISBN 3-11-017005-1, Kapitel 12.