Moore-Raum

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen

In der algebraischen Topologie ist ein Moore-Raum ein CW-Komplex, der nur in einem einzigen Grad eine nichttriviale reduzierte Homologiegruppe hat. Er ist daher die homologische Analogie eines Eilenberg-MacLane-Raumes in der Homotopietheorie, der nur in einem einzigen Grad eine nichttriviale Homotopiegruppe hat.

Für eine abelsche Gruppe und eine natürliche Zahl ist ein CW-Komplex , der für zusätzlich einfach zusammenhängend (das heißt wegzusammenhängend mit trivialer Fundamentalgruppe) sein soll, ein Moore-Raum, wenn die reduzierten singulären Homologiegruppen

erfüllen. Ein solcher Raum ist bis auf Homotopieäquivalenz eindeutig und wird dager mit bezeichnet.[1] Dieses Resultat würde ohne die beiden Eigenschaften, ein einfach zusammenhängender CW-Komplex zu sein, nicht gelten.

  • Die Einhängung eines Moore-Raumes ist wieder ein Moore-Raum, da dieser den Grad der Homologie um eins hinauf verschiebt.[2] Für eine Gruppe und ist der Moore-Raum .
  • Das unendliche symmetrische Produkt eines Moore-Raumes ist ein Eilenberg–MacLane-Raum, da dessen Nachkomposition mit der -ten Homotopiegruppe genau die -te (integrale) Homologiegruppe ist (Satz von Dold-Thom).[3] Für eine Gruppe und ist der Eilenberg–MacLane-Raum .
  • Für eine Gruppe und ist der Moore-Raum aufgrund induktiver Anwendung des Satzes von Hurewicz sogar -zusammenhängend mit .
  • Die -Sphäre ist der Moore-Raum für .
  • Die reelle projektive Ebene ist der Moore-Raum . Ihre -fache Einhängung ist daher der Moore-Raum .
  • Allen Hatcher. Algebraic topology, Cambridge University Press (2002), Für die Diskussion über Moore-Räume siehe Chapter 2, Example 2.40. Eine kostenlose digitale Version ist verfügbar auf der Webseite des Autors.

Einzelnachweise

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
  1. Allen Hatcher: Algebraic Topology., Chapter 4, Example 4.34
  2. Allen Hatcher: Algebraic Topology., Section 2.2., Exercise 32
  3. Allen Hatcher: Algebraic Topology., Section 4.K., Exercise 4K.6