Mostowski-Kollaps

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Der Mostowski-Kollaps (auch: Mostowski’scher Isomorphiesatz) ist ein Satz aus der Mengenlehre, der zuerst 1949 von dem polnischen Mathematiker Andrzej Mostowski formuliert wurde. Er ist vor allem bei der Konstruktion von Modellen ein wichtiges Hilfsmittel.

Sogenannter Kollaps der ungeraden auf die natürlichen Zahlen

Sei eine zweistellige wohlfundierte Relation auf einer Klasse . Über wohlfundierte Rekursion definiere für den transitiven Kollaps durch: .

Für die Abbildung gilt dann:

  • ist eine transitive Klasse.

Ist zusätzlich extensional, das heißt, wenn aus schon für alle folgt, so gilt darüber hinaus:

  • ist bijektiv
  • .

stellt also einen Isomorphismus zwischen den Strukturen und dar, und ist die einzige transitive Menge, die (mit der Relation ) zu isomorph ist.

  • Sei die Menge der ungeraden Zahlen, und die übliche Ordnung. Dann ist wohlfundiert und extensional. Es gilt: und . Jede ungerade Zahl wird also auf die kleinste noch freie natürliche Zahl abgebildet. Daher auch der Name Kollaps.
  • Ist eine Wohlordnung auf , dann ist der Ordnungstyp von , also die eindeutig bestimmte Ordinalzahl, die zu ordnungsisomorph ist. Der Mostowski-Kollaps kann also als Verallgemeinerung der Ordinalzahldefinition angesehen werden.
  • Sei eine partielle Ordnung, und ein Filter. Definiere die (wohlfundierte) Relation durch: . Ist ein abzählbares transitives Modell von ZFC und ist zusätzlich -generisch, so definiert der Kollaps von das Modell , welches eine fundamentale Rolle in der Forcing-Methode spielt.
  • Mostowski, Andrzey: An undecidable arithmetical statement, Fundamenta Mathematicae 36 (1949).
  • Jech, Thomas: Set Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006), ISBN 3-540-44085-2.