Plancherel-Maß

In der Mathematik ist das Plancherel-Maß ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß, welches auf der Menge ${\widehat {G}}$ der irreduziblen Darstellungen $\pi$ einer lokalkompakte Gruppe $G$ definiert wird.

Das Plancherel-Maß auf halbeinfachen Lie-Gruppen ist ein von Harish-Chandra eingeführtes wichtiges Konzept der Darstellungstheorie von Gruppen.

Definition auf endlichen Gruppen

Sei $G^{\wedge }$ die Menge der irreduziblen Darstellungen $\pi$ einer endlichen Gruppe $G$. Das Plancherel-Maß auf $G^{\wedge }$ ist für eine Darstellung $\pi$ definiert als

$\mu (\pi )={\frac {(\mathrm {dim} \,\pi )^{2}}{|G|}}.$

Definition auf halbeinfachen Lie-Gruppen

Sei $G$ eine reelle reduktive Gruppe. Betrachte die reguläre Darstellung (durch Links- und Rechtsmultiplikation) von $G\times G$ auf $H=L^{2}(G,\mu _{G})$, also dem Vektorraum der bezüglich des Haarmaßes quadratisch integrierbaren Funktionen. Dann gibt es eine Integral-Zerlegung

$H=\int _{\widehat {G}}H_{\omega }d\mu _{\widehat {G}}(\omega ),$

wobei ${\widehat {G}}$ die Dualgruppe (also die Gruppe der Äquivalenzklassen irreduzibler Darstellungen von $G$) und $H_{\omega }=\omega \otimes \omega ^{*}$ ist.

Das durch diese Zerlegung auf der Dualgruppe ${\widehat {G}}$ definierte Maß $d\mu _{\widehat {G}}$ ist das Plancherel-Maß. Die Zerlegung und damit das Plancherel-Maß wurden explizit von Harish-Chandra beschrieben. Insbesondere bewies er, dass der Träger von $d\mu _{\widehat {G}}$ im Unterraum der temperierten Darstellungen enthalten ist.

Literatur

• Harish-Chandra (1966), "Discrete series for semisimple Lie groups. II. Explicit determination of the characters", Acta Mathematica, 116 (1): 1–111