Postnikow-Turm

Ein Postnikow-Turm oder Postnikow-System ist im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie eine Methode, einen gegebenen topologischen Raum in Eilenberg-MacLane-Räume zu zerlegen, was zum Beispiel die Berechnung seiner Homologiegruppen mittels Spektralsequenzen ermöglicht.

Definition

Es sei $X$ ein gegebener topologischer Raum. Ein Postnikow-Turm von $X$ ist eine Folge

$\ldots \to Y_{n}\to Y_{n-1}\to \ldots \to Y_{2}\to Y_{1}$

von Abbildungen topologischer Räume mit folgenden Eigenschaften:

• für alle $n$ ist $Y_{n}\to Y_{n-1}$ eine Faserung
• für alle $k>n$ ist $\pi _{k}Y_{n}=0$
• für alle $k\leq n$ ist $\pi _{k}Y_{n}=\pi _{k}X$.

Eigenschaften

• Ein Postnikow-Turm existiert für jeden zusammenhängenden Raum. Für CW-Komplexe $X$ sind die Räume im Postnikow-Turm bis auf Homotopieäquivalenz eindeutig bestimmt, sonst nur bis auf schwache Homotopieäquivalenz.
• Man erhält $Y_{n}$ (bis auf Homotopieäquivalenz) aus $X$, indem durch Ankleben von Zellen der Dimensionen $\geq n+2$ an $X$ die Homotopiegruppen in Graden $\geq n+1$ "getötet" werden. (Indem man die Inklusion $Y_{n+1}\to Y_{n}$ durch ihren Abbildungskegel ersetzt, erhält man eine Faserung, ohne den Homotopietyp zu ändern.)
• Falls $X$ ein CW-Komplex ist, dann ist $Y_{1}$ ein Eilenberg-MacLane-Raum $K(\pi _{1}X,1)$ und die Faser der Faserung $Y_{n}\to Y_{n-1}$ ist ein Eilenberg-MacLane-Raum $K(\pi _{n}X,n)$.
• Die Abbildung von $X$ in den projektiven Limes $\varprojlim _{n\in \mathbb {N} }Y_{n}$ ist eine schwache Homotopieäquivalenz.
• Falls die Wirkung von $\pi _{1}X$ auf $\pi _{n}X$ für $n>1$ trivial ist, lassen sich die Faserungen $Y_{n}\to Y_{n-1}$ als Hauptfaserbündel realisieren.

Siehe auch

• Whitehead-Turm

Literatur

• M. M. Postnikow: Determination of the homology groups of a space by means of the homotopy invariants. In: Doklady Akad. Nauk SSSR. (N.S.) 76, 1951, 359–362. (russisch)
• R. Bott, L. W. Tu: Differential forms in algebraic topology. (= Graduate Texts in Mathematics. 82). Springer-Verlag, New York/ Berlin 1982, ISBN 0-387-90613-4.
• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-79160-X.
• P. Griffiths, J. Morgan: Rational homotopy theory and differential forms. (= Progress in Mathematics. 16). 2. Auflage. Springer, New York 2013, ISBN 978-1-4614-8467-7.

Weblinks

• Killing homotopy groups: Postnikov and Whitehead towers