Primzahltupel

Als Primzahltupel – auch englisch prime k-Tupel – werden in der Mathematik, genauer gesagt in der Zahlentheorie, nah beieinander gelegene Primzahlen genannt. Damit wird das Konzept der Primzahlzwillinge auf Tupel beliebig vieler Primzahlen verallgemeinert. Es gelten die Bedingungen, dass nicht alle möglichen Reste bezüglich einer Primzahl $\leq k$ im Tupel vorkommen dürfen und dass die Differenz $s$ zwischen der kleinsten und der größten Primzahl im Primzahltupel der kleinste mögliche Wert (ohne die erste Bedingung zu verletzen) sein muss.

Tupel aus Primzahlen, die nicht allen Bedingungen genügen, werden nicht Primzahltupel oder prime $k$-Tupel genannt. Diese haben aber unter Umständen andere Bezeichnungen, so nennt man beispielsweise Tupel von zwei Primzahlen der Form $(p,p+4)$ Primzahlencousins (engl. cousin primes) und Tupel von zwei Primzahlen der Form $(p,p+6)$ werden auch sexy Primzahlen (englisch sexy primes) genannt.

Definition

Ist für die Primzahltupel $(p_{1},\dots ,p_{k})$ mit $k$ Elementen die Menge $B$ aller möglichen Konstellationen $b$ (die selbst wieder $k$-Tupel sind) dieser Tupel bekannt, so gelten die folgenden Bedingungen:

1. Jedes Element des Primzahltupels muss prim sein:
   $\forall i\in \{1,\dots ,k\}:p_{i}\in \mathbb {P}$
2. Es dürfen nicht alle möglichen Reste bezüglich einer Primzahl $\leq k$ im Tupel vorkommen. Anders formuliert, muss es bezüglich jeder Primzahl $\leq k$ mindestens eine Restklasse geben, in welche keine Primzahl des Tupels fällt. Formal:
   $\forall m\in \left\{x\in \mathbb {P} \mid x\leq k\right\}\exists r\in \left\{x\in \mathbb {N} \mid x<m\right\}\forall i\in \{1,\dots ,k\}:p_{i}\not \equiv r\mod m$
   Lies: Für alle primen Module $m$ kleiner-gleich $k$ existiert ein Rest $r$ kleiner als $m$, der zu allen Primzahlen im Primzahltupel nicht kongruent ist bezüglich des Moduls $m$.
   Die Aussagen "[…] zu allen […] nicht […]" und "[…] zu keiner […]" sind äquivalent, siehe Quantor.
3. Die Differenz zwischen dem kleinsten und dem größten Element des Tupels muss gleich sein wie der $k$-spezifische Minimalwert (der der kleinste Wert ist, der die Bedingung 2. nicht verletzt):
   $\max \left(\left\{p_{i}\mid i\in \{1,\dots ,k\}\right\}\right)-\min \left(\left\{p_{i}\mid i\in \{1,\dots ,k\}\right\}\right)=s$
4. Die Differenzen der Elemente zum ersten Element $p_{1}$ müssen gleich sein wie die Werte einer (aber derselben für alle Elemente) Konstellation:
   $\exists b\in B\;\forall i\in \{1,\dots ,k\}:a_{i}-a_{1}=b_{i}$
   Wobei $b_{i}$ für das $i$-te Element aus dem $k$-Tupel $b$ steht.

Für vorgegebene, korrekte Konstellationen $b$ ist sowohl die Bedingung 2. als auch 3. hinfällig. Analog gilt das umgekehrte: Aus 2. und 3. erschließen sich sämtliche korrekte Konstellationen $b$.

Für prime 2-Tupel (also $k=2$) – die auch als Primzahlzwillinge bekannt sind –, sind $s$ und $B$ wohlbekannt. Diese lauten:

$s=2$

$B=\left\{\left(0,2\right)\right\}$

Die vier oben genannten Bedingungen lauten nun für prime 2-Tupel $(p_{1},p_{2})$:

1. $p_{1},p_{2}\in \mathbb {P}$
2. $\left(p_{1}\equiv p_{2}\equiv 0\mod 2\right)\vee \left(p_{1}\equiv p_{2}\equiv 1\mod 2\right)$
3. $\max(p_{1},p_{2})-\min(p_{1},p_{2})=s=2$
4. $\left(p_{1}-p_{1}=b_{1}=0\right)\wedge \left(p_{2}-p_{1}=b_{2}=2\right)$

Durch die Bedingung 2 wird für jedes $k$ eine endliche Anzahl an primen $k$-Tupeln ausgeschlossen. Im Falle $k=2$ wird die Konstellation $b_{2}=(0,1)$ bzw. das Primzahltupel $(2,3)$ ausgeschlossen. Diese ausgeschlossene Konstellation hat eine maximale Differenz von $s=1$ und da alle prime $k$-Tupel dieselbe maximale Differenz haben müssen, so gäbe es ohne die zweite Bedingung lediglich ein einziges primes 2-Tupel. Der Grund liegt darin, dass – wenn alle Restklassen bezüglich des Moduls $m$ vorkommen – alle größeren Tupel nach einer Konstellation $b$, welche durch Bedingung 2 ausgeschlossen worden wäre, genau ein Vielfaches vom Modul $m$ enthalten. Im Falle von $b=(0,1)$ kann man sagen, dass alle primen 2-Tupel nach dieser Konstellation $b$ in der Form $(n+0,n+1)$ für $n\in \mathbb {N}$ darstellbar sind. Hier wird recht offensichtlich deutlich, dass für alle $n>2$ entweder $p_{1}$ oder $p_{2}$ größer als und teilbar durch $2$ ist (wodurch die Bedingung 1 verletzt wird).

Sonderfälle

Für die kleinsten $k$-Werte haben sich spezielle Bezeichnungen etabliert. Die Konstellationen sowie die kleinsten und die größten bekannten zugehörigen Primzahltupel werden weiter unten im Abschnitt Konstellationen aufgelistet.

Primzahlzwilling

→ Hauptartikel: Primzahlzwilling

Ein Primzahlzwilling ist ein Paar aus zwei Primzahlen, deren Abstand 2 ist. Die kleinsten Primzahlzwillinge sind (3, 5), (5, 7) und (11, 13).

Primzahldrilling

Primzahldrillinge sind Elemente primer 3-Tupel, es gilt also $k=3$. 3-Tupel werden auch Tripel genannt, womit Primzahldrillinge auch prime Tripel oder Primzahl-Tripel genannt werden können. Alle primen Tripel enthalten ebenfalls ein Paar Primzahlzwillinge. Bei Primzahldrillingen der Form $(p,p+2,p+6)$ bilden die beiden ersten, bei jenen der Form $(p,p+4,p+6)$ die beiden letzten Primzahlen das erwähnte Paar Primzahlzwillinge. Die Konstellation $(p,p+2,p+4)$ ist nach der zweiten Bedingung der Definition inkorrekt bezüglich des Moduls $m=3$.

Die vier Primzahlen zweier Primzahl-Tripel mit zwei gemeinsamen Primzahlen bilden ein Primzahl-Quadrupel, sind Primzahlvierlinge.

Wenn eine Primzahl Teil von drei unterschiedlichen Primzahl-Tripeln ist, so sind fünf Primzahlen beteiligt und bilden ein Primzahl-Quintupel.

Ob es unendlich viele Primzahldrillinge gibt, ist unbekannt. Es wird jedoch vermutet, dass unendlich viele existieren. Im Jahre 2013 gelang es James Maynard und Terence Tao zu zeigen, dass es unendlich viele Dreiergruppen von Primzahlen gibt, deren Differenz höchstens 400.000 ist. Ihr Beweis verwendet Ergebnisse aus der Arbeit Zhang Yitangs zu Primzahlzwillingen. Um die Existenz unendlich vieler tatsächlicher Primzahldrillinge zu beweisen, müsste diese Obergrenze auf sechs reduziert werden.

Am 24. April 2019 wurde von Peter Kaiser das bisher größte Primzahl-Triplett mit 20.008 Dezimalstellen gefunden. Es lautet $4.111.286.921.397\cdot 2^{66.420}-1+d$ mit $d=0,2,6$.

Es folgt eine Liste der Primzahldrillinge bis $10.000$ (erzeugt mit Matheass 9.0):

p p+2 p+4 p+6 5 7 11 7 11 13 11 13 17 13 17 19 17 19 23 37 41 43 41 43 47 67 71 73 97 101 103 101 103 107 103 107 109 107 109 113 191 193 197 193 197 199 223 227 229 227 229 233

p p+2 p+4 p+6 277 281 283 307 311 313 311 313 317 347 349 353 457 461 463 461 463 467 613 617 619 641 643 647 821 823 827 823 827 829 853 857 859 857 859 863 877 881 883 881 883 887 1087 1091 1093 1091 1093 1097

p p+2 p+4 p+6 1277 1279 1283 1297 1301 1303 1301 1303 1307 1423 1427 1429 1427 1429 1433 1447 1451 1453 1481 1483 1487 1483 1487 1489 1487 1489 1493 1607 1609 1613 1663 1667 1669 1693 1697 1699 1783 1787 1789 1867 1871 1873 1871 1873 1877 1873 1877 1879

p p+2 p+4 p+6 1993 1997 1999 1997 1999 2003 2081 2083 2087 2083 2087 2089 2137 2141 2143 2237 2239 2243 2267 2269 2273 2377 2381 2383 2657 2659 2663 2683 2687 2689 2687 2689 2693 2707 2711 2713 2797 2801 2803 3163 3167 3169 3251 3253 3257 3253 3257 3259

p p+2 p+4 p+6 3457 3461 3463 3461 3463 3467 3463 3467 3469 3527 3529 3533 3671 3673 3677 3847 3851 3853 3917 3919 3923 4001 4003 4007 4127 4129 4133 4153 4157 4159 4513 4517 4519 4517 4519 4523 4637 4639 4643 4783 4787 4789 4787 4789 4793 4931 4933 4937

p p+2 p+4 p+6 4967 4969 4973 5227 5231 5233 5231 5233 5237 5413 5417 5419 5437 5441 5443 5477 5479 5483 5501 5503 5507 5647 5651 5653 5651 5653 5657 5653 5657 5659 5737 5741 5743 6197 6199 6203 6547 6551 6553 6823 6827 6829 6827 6829 6833 7207 7211 7213

p p+2 p+4 p+6 7753 7757 7759 7873 7877 7879 7877 7879 7883 8087 8089 8093 8231 8233 8237 8287 8291 8293 8291 8293 8297 8537 8539 8543 8623 8627 8629 8861 8863 8867 9007 9011 9013 9277 9281 9283 9337 9341 9343 9431 9433 9437 9433 9437 9439 9461 9463 9467

Primzahlvierling

Primzahlvierlinge sind Elemente primer 4-Tupel, es gilt also $k=4$. 4-Tupel werden auch Quadrupel genannt, was die Bezeichnungen prime Quadrupel oder Primzahl-Quadrupel legitimiert. Für Primzahl-Quadrupel existiert nur eine korrekte Konstellation. Mit der einzigen Ausnahme $(5,7,11,13)$ lässt sich jedes Primzahl-Quadrupel sowohl in der Form $(p,p+2,p+6,p+8)$ als auch in der Form $(15n-4,15n-2,15n+2,15n+4)$ schreiben. Die Zahl in der Mitte ($15n$) ist daher immer durch $15$ teilbar und die Summe der Primzahlen des Quadrupels ist immer durch $60$ teilbar. Die Zahlen enden im Dezimalsystem also immer mit $1,3,7$ und $9$.

Alle primen Quadrupel enthalten zwei Paare von Primzahlzwillingen mit einem Abstand von $4$ zueinander.

Alle primen Quadrupel enthalten zwei sich überlappende Primzahl-Tripel nach unterschiedlichen Konstellationen.

Ob es unendlich viele Primzahlvierlinge gibt, ist unbekannt. Es wird jedoch vermutet, dass unendlich viele existieren. Im Jahre 2013 gelang es James Maynard und Terence Tao zu zeigen, dass es unendlich viele Vierergruppen von Primzahlen gibt, deren Differenz höchstens 25 Millionen ist. Ihr Beweis verwendet Ergebnisse aus der Arbeit Zhang Yitangs zu Primzahlzwillingen. Um die Existenz unendlich vieler tatsächlicher Primzahlvierlinge zu beweisen, müsste diese Obergrenze auf 8 reduziert werden.

Gemäß der Hardy-Littlewood-Vermutung ist die Anzahl der Primzahlvierlinge kleiner als $x$ asymptotisch durch die Formel

$C_{4}\int _{2}^{x}\!{\frac {\mathrm {d} t}{(\ln t)^{4}}}\qquad {\text{ mit }}\qquad C_{4}={\frac {27}{2}}\prod _{p>4 \atop p\;{\text{prim}}}{\frac {p^{3}(p-4)}{(p-1)^{4}}}=4{,}15118{\text{ }}08632{\text{ }}37415{\text{ }}75716...$

(Folge A061642 in OEIS) gegeben.

Der bisher größte bekannte Primzahlvierling hat $10132$ Dezimalstellen, wurde am 27. Februar 2019 von Peter Kaiser gefunden und ist gegeben durch $667.674.063.382.677\cdot 2^{33608}-1+d$ mit $d=0,2,6,8$.

Es folgt eine Liste der kleinsten Primzahlvierlinge bis $170.000$:

p p+2 p+6 p+8 n 15n-4 15n-2 15n+2 15n+4 - 5 7 11 13 1 11 13 17 19 7 101 103 107 109 13 191 193 197 199 55 821 823 827 829 99 1481 1483 1487 1489 125 1871 1873 1877 1879 139 2081 2083 2087 2089 217 3251 3253 3257 3259 231 3461 3463 3467 3469 377 5651 5653 5657 5659 629 9431 9433 9437 9439 867 13001 13003 13007 13009 1043 15641 15643 15647 15649 1049 15731 15733 15737 15739 1071 16061 16063 16067 16069

p p+2 p+6 p+8 n 15n-4 15n-2 15n+2 15n+4 1203 18041 18043 18047 18049 1261 18911 18913 18917 18919 1295 19421 19423 19427 19429 1401 21011 21013 21017 21019 1485 22271 22273 22277 22279 1687 25301 25303 25307 25309 2115 31721 31723 31727 31729 2323 34841 34843 34847 34849 2919 43781 43783 43787 43789 3423 51341 51343 51347 51349 3689 55331 55333 55337 55339 4199 62981 62983 62987 62989 4481 67211 67213 67217 67219 4633 69491 69493 69497 69499 4815 72221 72223 72227 72229 5151 77261 77263 77267 77269

p p+2 p+6 p+8 n 15n-4 15n-2 15n+2 15n+4 5313 79691 79693 79697 79699 5403 81041 81043 81047 81049 5515 82721 82723 82727 82729 5921 88811 88813 88817 88819 6523 97841 97843 97847 97849 6609 99131 99133 99137 99139 6741 101111 101113 101117 101119 7323 109841 109843 109847 109849 7769 116531 116533 116537 116539 7953 119291 119293 119297 119299 8147 122201 122203 122207 122209 9031 135461 135463 135467 135469 9611 144161 144163 144167 144169 10485 157271 157273 157277 157279 11047 165701 165703 165707 165709 11123 166841 166843 166847 166849

Die ersten Zahlen dieser Primzahlvierlinge lauten $5,11,101,191,821,1481,1871,2081,\ldots$ (Folge A007530 in OEIS)

Primzahlfünfling

Primzahlfünflinge sind Elemente primer 5-Tupel, es gilt also $k=5$. 5-Tupel werden auch Quintupel genannt, worauf hin Tupel von Primzahlfünflingen auch prime Quintupel oder Primzahl-Quintupel genannt werden. Für Primzahlfünflinge existieren zwei Konstellationen. Es lässt sich jeder Primzahlfünfling entweder in der Form $(p,p+2,p+6,p+8,p+12)$ oder in der Form $(p,p+4,p+6,p+10,p+12)$ schreiben.

Die Zahlen enden im Dezimalsystem (bis auf das erste Quintupel $(5,7,11,13,17)$) immer mit $7,1,3,7$ und $9$ oder $1,3,7,9$ und $3$.

Alle primen Quintupel enthalten zwei Paare von Primzahlzwillingen mit einem Abstand von $4$ zueinander.

Alle primen Quintupel enthalten drei sich überlappende Primzahl-Tripel.

Alle primen Quintupel enthalten ein primes-Quadrupel.

Ob es unendlich viele Primzahlfünflinge gibt, ist unbekannt. Es wird jedoch vermutet, dass unendlich viele existieren. Selbst wenn man beweisen könnte, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, ist noch nicht bewiesen, dass es unendlich viele Primzahlfünflinge gibt. Ebenso reicht es nicht aus, wenn man beweisen könnte, dass es unendlich viele Primzahldrillinge gibt.

Es folgt eine Liste der kleinsten Primzahlfünflinge bis $200.000$:

p p+2 p+4 p+6 p+8 p+10 p+12 5 7 11 13 17 7 11 13 17 19 11 13 17 19 23 97 101 103 107 109 101 103 107 109 113 1481 1483 1487 1489 1493 1867 1871 1873 1877 1879 3457 3461 3463 3467 3469 5647 5651 5653 5657 5659 15727 15731 15733 15737 15739 16057 16061 16063 16067 16069 16061 16063 16067 16069 16073 19417 19421 19423 19427 19429

p p+2 p+4 p+6 p+8 p+10 p+12 19421 19423 19427 19429 19433 21011 21013 21017 21019 21023 22271 22273 22277 22279 22283 43777 43781 43783 43787 43789 43781 43783 43787 43789 43793 55331 55333 55337 55339 55343 79687 79691 79693 79697 79699 88807 88811 88813 88817 88819 101107 101111 101113 101117 101119 144161 144163 144167 144169 144173 165701 165703 165707 165709 165713 166841 166843 166847 166849 166853 195731 195733 195737 195739 195743

Die ersten Zahlen der Primzahlfünflinge der Form $(p,p+2,p+6,p+8,p+12)$ lauten $5,11,101,1481,16061,19421,21011,\ldots$ (Folge A022006 in OEIS)

Die ersten Zahlen der Primzahlfünflinge der Form $(p,p+4,p+6,p+10,p+12)$ lauten $7,97,1867,3457,5647,15727,16057,\ldots$ (Folge A022007 in OEIS)

Primzahlsechsling

Primzahlsechslinge sind Elemente primer 6-Tupel, es gilt also $k=6$. 6-Tupel werden auch Sextupel genannt, worauf hin Tupel von Primzahlsechslingen auch prime Sextupel oder Primzahl-Sextupel genannt werden. Für Primzahlsechslinge existiert nur eine korrekte Konstellation. Es lässt sich jeder Primzahlsechsling sowohl in der Form $(p,p+4,p+6,p+10,p+12,p+16)$ als auch in der Form $(15n-8,15n-4,15n-2,15n+2,15n+4,15n+8)$ schreiben. Die Zahl in der Mitte ist daher immer durch $15$ teilbar und die Summe der Primzahlen des Sextupels ist immer durch $90$ teilbar. Die Zahlen enden im Dezimalsystem also immer mit $7,1,3,7,9$ und $3$.

Alle primen Sextupel enthalten zwei Paare von Primzahlzwillingen mit einem Abstand von $4$ zueinander.

Alle primen Sextupel enthalten vier Primzahl-Tripel mit je zwei unterschiedlichen Konstellationen.

Alle primen Sextupel enthalten ein Primzahl-Quadrupel in der Mitte.

Alle primen Sextupel enthalten zwei Primzahl-Quintupel nach unterschiedlichen Konstellationen.

Ob es unendlich viele Primzahlsechslinge gibt, ist unbekannt. Es wird jedoch vermutet, dass unendlich viele existieren.

Es folgt eine Liste der kleinsten Primzahlsechslinge bis $3.000.000$:

	p	p+4	p+6	p+10	p+12	p+16
n	15n-8	15n-4	15n-2	15n+2	15n+4	15n+8
1	7	11	13	17	19	23
7	97	101	103	107	109	113
1071	16057	16061	16063	16067	16069	16073
1295	19417	19421	19423	19427	19429	19433
2919	43777	43781	43783	43787	43789	43793
72751	1091257	1091261	1091263	1091267	1091269	1091273
107723	1615837	1615841	1615843	1615847	1615849	1615853
130291	1954357	1954361	1954363	1954367	1954369	1954373
188181	2822707	2822711	2822713	2822717	2822719	2822723
189329	2839927	2839931	2839933	2839937	2839939	2839943

Die ersten Zahlen dieser Primzahlsechslinge lauten $7,97,16057,19417,43777,1091257,\ldots$ (Folge A022008 in OEIS)

Primzahlsiebenling

Primzahlsiebenlinge sind Elemente primer 7-Tupel, es gilt also $k=7$. 7-Tupel werden auch Septupel genannt, was für Tupel zusammengehöriger Primzahlsiebenlinge auch die Bezeichnungen prime Septupel oder Primzahl-Septupel rechtfertigt. Es lässt sich jeder Primzahsiebenling in einer der zwei folgenden Konstellationen schreiben:

$(p,\ p+2,\ p+6,\ p+\ \ 8,\ p+12,\ p+18,\ p+20)$

$(p,\ p+2,\ p+8,\ p+12,\ p+14,\ p+18,\ p+20)$

Alle primen Septupel enthalten drei Paare von Primzahlzwillingen.

Alle primen Septupel enthalten drei Primzahl-Tripel.

Die primen Septupel der Konstellation $(p,p+2,p+6,p+8,p+12,p+18,p+20)$ enthalten ein Primzahl-Quadrupel zu Beginn.

Die primen Septupel der Konstellation $(p,p+2,p+8,p+12,p+14,p+18,p+20)$ enthalten ein Primzahl-Quadrupel am Ende.

Die primen Septupel der Konstellation $(p,p+2,p+6,p+8,p+12,p+18,p+20)$ enthalten ein Primzahl-Quintupel der Form $(p,p+2,p+6,p+8,p+12)$ zu Beginn.

Die primen Septupel der Konstellation $(p,p+2,p+8,p+12,p+14,p+18,p+20)$ enthalten ein Primzahl-Quintupel der Form $(p,p+4,p+6,p+10,p+12)$ am Ende.

Alle primen Septupel enthalten kein Primzahl-Sextupel.

Ob es unendlich viele Primzahlsiebenlinge gibt, ist unbekannt. Es wird jedoch vermutet, dass unendlich viele existieren.

Es folgt eine Liste der kleinsten Primzahlsiebenlinge bis $10.000.000$:

p	p+2	p+6	p+8	p+12	p+14	p+18	p+20
11	13	17	19	23		29	31
5639	5641		5647	5651	5653	5657	5659
88799	88801		88807	88811	88813	88817	88819
165701	165703	165707	165709	165713		165719	165721
284729	284731		284737	284741	284743	284747	284749
626609	626611		626617	626621	626623	626627	626629
855719	855721		855727	855731	855733	855737	855739
1068701	1068703	1068707	1068709	1068713		1068719	1068721
1146779	1146781		1146787	1146791	1146793	1146797	1146799
6560999	6561001		6561007	6561011	6561013	6561017	6561019
7540439	7540441		7540447	7540451	7540453	7540457	7540459
8573429	8573431		8573437	8573441	8573443	8573447	8573449

Die ersten Zahlen dieser Primzahlsiebenlinge der 1. Konstellation lauten $11,165701,1068701,11900501,15760091,\ldots$ (Folge A022009 in OEIS)

Die ersten Zahlen dieser Primzahlsiebenlinge der 2. Konstellation lauten $5639,88799,284729,626609,855719,\ldots$ (Folge A022010 in OEIS)

Primzahlachtling

Primzahlachtlinge sind Elemente primer 8-Tupel, es gilt also $k=8$. 8-Tupel werden auch Oktupel genannt, was für Tupel zusammengehöriger Primzahlachtlinge auch die Bezeichnungen prime Oktupel oder Primzahl-Oktupel rechtfertigt. Es lässt sich jeder Primzahlachtling in einer der drei folgenden Konstellationen schreiben:

${\begin{aligned}(p,&\quad p+2,&p+6,&\quad p+8,&p+12,&\quad p+18,&p+20,&\quad p+26)\\(p,&\quad p+2,&p+6,&\quad p+12,&p+14,&\quad p+20,&p+24,&\quad p+26)\\(p,&\quad p+6,&p+8,&\quad p+14,&p+18,&\quad p+20,&p+24,&\quad p+26)\end{aligned}}$

Alle primen Oktupel enthalten drei Paare von Primzahlzwillingen.

Alle primen Oktupel enthalten drei Primzahl-Tripel.

Die primen Oktupel der Konstellation $(p,p+2,p+6,p+8,p+12,p+18,p+20,p+26)$ enthalten ein Primzahl-Quadrupel zu Beginn.

Die primen Oktupel der Konstellation $(p,p+2,p+6,p+12,p+14,p+20,p+24,p+26)$ enthalten kein Primzahl-Quadrupel.

Die primen Oktupel der Konstellation $(p,p+6,p+8,p+14,p+18,p+20,p+24,p+26)$ enthalten ein Primzahl-Quadrupel am Ende.

Die primen Oktupel der Konstellation $(p,p+2,p+6,p+8,p+12,p+18,p+20,p+26)$ enthalten ein Primzahl-Quintupel der Form $(p,p+2,p+6,p+8,p+12)$ zu Beginn.

Die primen Oktupel der Konstellation $(p,p+2,p+6,p+12,p+14,p+20,p+24,p+26)$ enthalten kein Primzahl-Quintupel.

Die primen Oktupel der Konstellation $(p,p+6,p+8,p+14,p+18,p+20,p+24,p+26)$ enthalten ein Primzahl-Quintupel der Form $(p,p+4,p+6,p+10,p+12)$ am Ende.

Alle primen Oktupel enthalten kein Primzahl-Sextupel.

Die primen Oktupel der Konstellation $(p,p+2,p+6,p+8,p+12,p+18,p+20,p+26)$ enthalten ein Primzahl-Septupel der Form $(p,p+2,p+6,p+8,p+12,p+18,p+20)$ zu Beginn.

Die primen Oktupel der Konstellation $(p,p+2,p+6,p+12,p+14,p+20,p+24,p+26)$ enthalten kein Primzahl-Septupel.

Die primen Oktupel der Konstellation $(p,p+6,p+8,p+14,p+18,p+20,p+24,p+26)$ enthalten ein Primzahl-Septupel der Form $(p,p+2,p+8,p+12,p+14,p+18,p+20)$ am Ende.

Ob es unendlich viele Primzahlachtlinge gibt, ist unbekannt. Es wird jedoch vermutet, dass unendlich viele existieren.

Es folgt eine Liste der kleinsten Primzahlachtlinge bis $100.000.000$:

p	p+2	p+6	p+8	p+12	p+14	p+18	p+20	p+24	p+26
11	13	17	19	23		29	31		37
17	19	23		29	31		37	41	43
1277	1279	1283		1289	1291		1297	1301	1303
88793		88799	88801		88807	88811	88813	88817	88819
113147	113149	113153		113159	113161		113167	113171	113173
284723		284729	284731		284737	284741	284743	284747	284749
855713		855719	855721		855727	855731	855733	855737	855739
1146773		1146779	1146781		1146787	1146791	1146793	1146797	1146799
2580647	2580649	2580653		2580659	2580661		2580667	2580671	2580673
6560993		6560999	6561001		6561007	6561011	6561013	6561017	6561019
15760091	15760093	15760097	15760099	15760103		15760109	15760111		15760117
20737877	20737879	20737883		20737889	20737891		20737897	20737901	20737903
25658441	25658443	25658447	25658449	25658453		25658459	25658461		25658467
58208387	58208389	58208393		58208399	58208401		58208407	58208411	58208413
69156533		69156539	69156541		69156547	69156551	69156553	69156557	69156559
73373537	73373539	73373543		73373549	73373551		73373557	73373561	73373563
74266253		74266259	74266261		74266267	74266271	74266273	74266277	74266279
76170527	76170529	76170533		76170539	76170541		76170547	76170551	76170553
93625991	93625993	93625997	93625999	93626003		93626009	93626011		93626017

Die ersten Zahlen dieser Primzahlachtlinge der 1. Konstellation lauten $11,15760091,25658441,93625991,182403491,\ldots$ (Folge A022011 in OEIS)

Die ersten Zahlen dieser Primzahlachtlinge der 2. Konstellation lauten $17,1277,113147,2580647,20737877,\ldots$ (Folge A022012 in OEIS)

Die ersten Zahlen dieser Primzahlachtlinge der 3. Konstellation lauten $88793,284723,855713,1146773,6560993,\ldots$ (Folge A022013 in OEIS)

Konstellationen

Im Folgenden steht $n\#$ für die Primfakultät, also für das Produkt aller Primzahlen $\leq n$. Formal: $n\#=\prod _{p\in [1,n]\cap \mathbb {P} }p$

Bei den Primzahlachtlingen (also bei $k=8$) haben zwei der drei aktuellen Rekordzahlen (der Startwert des Primzahltupels) je einen sehr großen 98-stelligen Faktor, der in der folgenden Tabelle keinen Platz hat. Deswegen sei er schon hier erwähnt:

u = 14315614956030418747867488895208199566750873528908316976274174208238191434937011407287479676495550

v = 85942978608490853163266464829675186732716531436220205198524648761309585030760262728948076619827920

Bei den Primzahlneunlingen (also bei $k=9$) habei alle vier aktuellen Rekordzahlen (die Startwerte der Primzahltupel) einen sehr großen 93-, 98-, 105- bzw. 103-stelligen Faktor, der in der folgenden Tabelle keinen Platz hat. Deswegen seien sie schon hier erwähnt:

wi = 182075127245948453356763852678412657384571384320476086323955359028566228121357180020362596219

x₁ = 14315614956030418747867488895208199566750873528908316976274174208238191434937011407287479676495550

x₂ = 290901656335108169864195656135043662615199446375386143995339722400236057821426952579658098504166333411889

x₃ = 6981459541055817191260362842479625063402912945070015867718881817316331990854697141515826226327285164890

Bei den Primzahlzehnlingen (also bei $k=10$) haben beide aktuellen Rekordzahlen (der Startwert des Primzahltupels) einen sehr großen 105- bzw. 98-stelligen Faktor, der in der folgenden Tabelle keinen Platz hat. Deswegen seien sie schon hier erwähnt:

y₁ = 290901656335108169864195656135043662615199446375386143995339722400236057821426952579658098504166333411889

y₂ = 14315614956030418747867488895208199566750873528908316976274174208238191434937011407287479676495550

Bei den Primzahlelf- und Primzahlzwölflingen (also bei $k=11$ und $k=12$) hat die aktuelle Rekordzahl (der Startwert des Primzahltupels) einen sehr großen 92-stelligen Faktor, der in der folgenden Tabelle keinen Platz hat. Deswegen sei er schon hier erwähnt:

z = 13243795731372733191902494675154142263612189966992593522251560981597803197621024152571147501

$k$	$s$	Konstellation $b$	Kleinstes Primzahltupel	Größtes bekanntes Primzahltupel (Stand: 29. April 2024)	Stellen
02	02	(0, 2)	(3, 5)	2996863034895 · 21290000 − 1 + d	388342
03	06	(0, 2, 6) (0, 4, 6)	(5, 7, 11) (7, 11, 13)	4111286921397 · 266420 − 1 + d 6521953289619 · 255555 − 5 + d	020008 016737
04	08	(0, 2, 6, 8)	(5, 7, 11, 13)	667674063382677 · 233608 − 1 + d	010132
05	12	(0, 2, 6, 8, 12) (0, 4, 6, 10, 12)	(5, 7, 11, 13, 17) (7, 11, 13, 17, 19)	585150568069684836 · 7757# : 85085 + 5 + d 566761969187 · 4733#: 2 − 8 + d	003344 002034
06	16	(0, 4, 6, 10, 12, 16)	(7, 11, 13, 17, 19, 23)	23700 + 33888977692820810260792517451 + d	001114
07	20	(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20) (0, 2, 8, 12, 14, 18, 20)	(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31) (5639, 5641, 5647, 5651, 5653, 5657, 5659)	113225039190926127209 · 2339# : 57057 + 1 + d 4733578067069 · 940# + 626609 + d	001002 000402
08	26	(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26) (0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26) (0, 6, 8, 14, 18, 20, 24, 26)	(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37) (17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43) (88793, 88799, 88801, 88807, 88811, 88813, 88817, 88819)	362079385668757696008683096558661746463 · 863# + 114023297140211 + d u · 449# + 226554621544607 + d v · 541# + 301570107719123 + d	000401 000282 000318
09	30	(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30) (0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30) (0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30) (0, 4, 10, 12, 18, 22, 24, 28, 30)	(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41) (13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43) (17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47) (88789, 88793, 88799, 88801, 88807, 88811, 88813, 88817, 88819)	w · 541# + 145933845312371 + d x1 · 449# + 226554621544607 + d x2 · 401# + 380284918609483 + d x3 · 503# + 301713410008249 + d	000312 000282 000269 000312
10	32	(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32) (0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30, 32)	(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43) (9853497737, …)	y1 · 401# + 380284918609481 + d y2 · 449# + 226554621544607 + d	000269 000282
11	36	(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36) (0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 36)	(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47) (1418575498573, …)	z + 49376500222690335 * 229# + d 613176722801194 · 151# + 177321217 + 6 + d	000108 000075
12	42	(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42) (0, 6, 10, 12, 16, 22, 24, 30, 34, 36, 40, 42)	(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53) (1418575498567, …)	z + 27407861785763183 * 229# + d 613176722801194 · 151# + 177321217 + d	000108 000075
13	48	(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48) (0, 2, 8, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48) (0, 2, 12, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48) (0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 36, 46, 48) (0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48) (0, 6, 12, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 40, 42, 46, 48)	(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59) (7697168877290909, …) (10527733922579, …) (1707898733581273, …) (13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61) (186460616596321, …)	9985637467 · 139# + 3629868888791261 + d 381955327397348 · 79# + 18393209 + d 4135997219394611 · 109# + 117092849 + d 1044 + 2004740564798426955633 + d 14815550 · 107# + 4385574275277313 + d 381955327397348 · 79# + 18393211 + d	000066 000046 000061 000045 000050 000046
14	50	(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48, 50) (0, 2, 8, 14, 18, 20, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 48, 50)	(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61) (79287805466244209, …)	14815550 · 107# + 4385574275277311 + d 381955327397348 · 79# + 18393209 + d	000050 000046
15	56	(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48, 50, 56) (0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30, 36, 42, 44, 50, 54, 56) (0, 2, 6, 12, 14, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 44, 50, 54, 56) (0, 6, 8, 14, 20, 24, 26, 30, 36, 38, 44, 48, 50, 54, 56)	(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67) (17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73) (1158722981124148367, …) (14094050870111867483, …)	107173714602413868775303366934621 + d 10004646546202610858599716515809907 + d 33554294028531569 · 61# + 57800747 + d 299 + 49408572140248891027005 + d	000033 000035 000040 000030
16	60	(0, 2, 6, 12, 14, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 44, 50, 54, 56, 60) (0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48, 54, 58, 60)	(47710850533373130107, …) (13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73)	322255 · 73# + 1354238543317302647 + d 94 · 79# + 1341680294611244014363 + d	000035 000033
17	66	(0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30, 36, 42, 44, 50, 54, 56, 62, 66) (0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48, 54, 58, 60, 66) (0, 4, 10, 12, 16, 22, 24, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 54, 60, 64, 66) (0, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 32, 36, 38, 42, 48, 50, 56, 60, 62, 66)	(17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83) (13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79) (734975534793324512717947, …) (1620784518619319025971, …)	100845391935878564991556707107 + d 11413975438568556104209245223 + d 5867208169546174917450987997 + d 3684 · 73# + 880858118723497737821 + d	000030 000029 000028 000033
18	70	(0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48, 54, 58, 60, 66, 70) (0, 4, 10, 12, 16, 22, 24, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 54, 60, 64, 66, 70)	(13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83) (2845372542509911868266807, …)	183837276562811649018077773 + d 5867208169546174917450987997 + d	000027 000028
19	76	(0, 4, 6, 10, 12, 16, 24, 30, 34, 40, 42, 46, 52, 54, 60, 66, 70, 72, 76) (0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48, 54, 58, 60, 66, 70, 76) (0, 4, 6, 10, 16, 22, 24, 30, 34, 36, 42, 46, 52, 60, 64, 66, 70, 72, 76) (0, 6, 10, 16, 18, 22, 28, 30, 36, 42, 46, 48, 52, 58, 60, 66, 70, 72, 76)	(622803914376064301858782434517, …) (13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89) (37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113) (630134041802574490482213901, …)	622803914376064301858782434517 + d 13 + d 248283957683772055928836513597 + d 2406179998282157386567481191 + d	000030 000002 000030 000028
20	80	(0, 2, 6, 8, 12, 20, 26, 30, 36, 38, 42, 48, 50, 56, 62, 66, 68, 72, 78, 80) (0, 2, 8, 12, 14, 18, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 50, 54, 60, 68, 72, 74, 78, 80)	(14374153072440029138813893241, …) (29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109)	1135540756371356698957890225821 + d 1236637204227022808686214288579 + d	000031 000031
21	84	(0, 2, 8, 12, 14, 18, 24, 30, 32, 38, 42, 44, 50, 54, 60, 68, 72, 74, 78, 80, 84) (0, 4, 6, 10, 12, 16, 24, 30, 34, 40, 42, 46, 52, 54, 60, 66, 70, 72, 76, 82, 84)	(29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113) (622803914376064301858782434517, …)	248283957683772055928836513589 + d 622803914376064301858782434517 + d	000030 000030

Es existiert für jedes beliebig hohe $k$ mindestens eine dazugehörige Konstellation. Solche lassen sich mit Computerhilfe mit einem simplen Brute-Force-Algorithmus finden. Das Finden von Primzahltupeln zu vorgegebenen Konstellationen ist insbesondere für höhere $k$ mit großem Rechenaufwand verbunden.

Anzahl

→ Hauptartikel: Offene Frage bei Primzahlzwillingen

Der trivial zu beweisende Satz von Euklid sagt aus, dass unendlich viele Primzahlen existieren. Die sehr ähnlich erscheinende Fragestellung, ob es unendlich viele Primzahlenzwillinge, -drillinge etc. gibt, konnte jedoch bis heute noch nicht geklärt werden. Bislang konnte lediglich bewiesen werden, dass unendlich viele Primzahlen mit einem Abstand zueinander von maximal $246$ existieren.

→ Hauptartikel: Hardy-Littlewood-Vermutung

Laut der unbewiesenen ersten Hardy-Littlewood-Vermutung ist die Anzahl der primen $k$-Tupel bis zu einer Grenze asymptotisch zu einer in der Vermutung aufgestellten Formel.

Zusammenfassung

Um die Unterschiede der verschiedensten Primzahltupel noch einmal zu verdeutlichen, sei hier noch einmal eine Zusammenfassung der gebräuchlichen Namen angeführt:

(p, p+2)	Primzahlzwilling
(p, p+4)	Primzahlencousin
(p, p+6)	Sexy Primzahlzwilling
(p, p+2, p+6) und (p, p+4, p+6)	Primzahldrilling
(p, p+6, p+12)	Sexy Primzahldrilling
(p, p+2, p+6, p+8)	Primzahlvierling
(p, p+6, p+12, p+18)	Sexy Primzahlvierling
(p, p+2, p+6, p+8, p+12) und (p, p+4, p+6, p+10, p+12)	Primzahlfünfling
(p, p+6, p+12, p+18, p+24)	Sexy Primzahlfünfling

Literatur

• Herschel F. Smith: On a generalization of the prime pair problem. (PDF) In: Math. Tables Aids Comput., 11, 1957, No. 60, S. 249–254
• Paul Erdős, Hans Riesel: On admissible constellations of consecutive primes. In: BIT (Nordisk Tidskrift for Informationsbehandling), 28, 1988, No. 3, S. 391–396

Einzelnachweise

V – D

Primzahl­mengen