Quartische Primzahl

In der Zahlentheorie ist eine quartische Primzahl (vom englischen quartan prime) eine Primzahl der Form $p=x^{4}+y^{4}$ mit ganzzahligen $x>0$ und $y>0$.

Beispiele

• Die Zahl $2=1+1=1^{4}+1^{4}$ ist eine quartische Primzahl.
• Die Zahl $97=16+81=2^{4}+3^{4}$ ist eine quartische Primzahl.
• Die kleinsten quartischen Primzahlen lauten:

2, 17, 97, 257, 337, 641, 881, 1297, 2417, 2657, 3697, 4177, 4721, 6577, 10657, 12401, 14657, 14897, 15937, 16561, 28817, 38561, 39041, 49297, 54721, 65537, 65617, 66161, 66977, 80177, 83537, 83777, 89041, 105601, 107377, 119617, 121937, … (Folge A002645 in OEIS)

• Die momentan größte bekannte quartische Primzahl (Stand: 17. Juni 2018) ist gleichzeitig die größte bekannte verallgemeinerte Fermatsche Primzahl, nämlich

$p=919444^{1048576}+1=(919444^{262144})^{4}+1^{4}$

Sie hat $6.253.210$ Stellen und wurde am 29. August 2017 von Sylvanus A. Zimmerman (USA) entdeckt.

Eigenschaften

• Sei $p\in \mathbb {P}$ mit $p>2$ eine (ungerade) quartische Primzahl. Dann gilt:

$p=16n+1$ mit $n\in \mathbb {N}$

Mit anderen Worten:

$p\equiv 1{\pmod {16}}$

• Sei $p=x^{4}+y^{4}\in \mathbb {P}$ mit $p>2$ eine (ungerade) quartische Primzahl. Dann gilt:

Wenn $x$ ungerade ist, muss $y$ gerade sein oder umgekehrt.

Beweis:

Angenommen, sowohl $x$ als auch $y$ sind gerade. Dann wäre auch $x^{4}$ und $y^{4}$ gerade und somit wäre auch $p=x^{4}+y^{4}$ als Summe von zwei geraden Zahlen eine gerade Primzahl. Wegen $p>2$ kann dies aber nicht sein.

Angenommen, sowohl $x$ als auch $y$ sind ungerade. Dann wäre auch $x^{4}$ und $y^{4}$ ungerade und somit wäre $p=x^{4}+y^{4}$ als Summe von zwei ungeraden Zahlen eine gerade Primzahl. Wegen $p>2$ kann dies aber nicht sein.

Somit bleibt nur übrig, dass entweder $x$ oder $y$ ungerade und die jeweils andere gerade ist. $\Box$

Weil jede gerade Zahl hoch 4 durch 16 teilbar ist und jede ungerade Zahl hoch 4 bei der Division durch 16 den Rest 1 hat, gilt: $p=g^{4}+u^{4}\equiv 0+1=1{\pmod {16}}$

• Außer der 2 enden alle quartischen Primzahlen im Dezimalsystem mit der Endziffer 1 oder 7.

Alle Biquadrate von geraden Zahlen endet mit der Ziffer 0, falls diese durch 10 teilbar sind $(z)$, andernfalls mit der Endziffer 6 $(g)$.

Alle Biquadrate von ungeraden Zahlen endet mit der Ziffer 5, falls diese durch 5 teilbar sind $(f)$, andernfalls mit der Endziffer 1 $(u)$.

$z^{4}+u^{4}\equiv 0+1\equiv 1{\pmod {10}}$

$z^{4}+f^{4}\equiv 0+5\equiv 5{\pmod {10}}$ : keine Primzahlen, weil durch 5 teilbar.

$g^{4}+u^{4}\equiv 6+1\equiv 7{\pmod {10}}$

$g^{4}+f^{4}\equiv 6+5\equiv 1{\pmod {10}}$

Siehe auch

• Biquadrat

Weblinks

• Neil Sloane: A Handbook of Integer Sequences. Abgerufen am 27. Mai 2018 (englisch). 

Quellen

Neil Sloane: A Handbook of Integer Sequences. Academic Press, Inc., New York 1973, ISBN 1-4832-4665-5, S. 205. 

V – D

Primzahl­mengen