Pseudo-hyperbolischer Raum

In der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind pseudo-hyperbolische Räume eine Klasse pseudo-Riemannscher Mannigfaltigkeiten, zu denen insbesondere der hyperbolische Raum und der Anti-de-Sitter-Raum gehören.

Seien $p,q$ zwei natürliche Zahlen. Der pseudo-hyperbolische Raum $\mathbb {H} ^{p,q}$ ist der homogene Raum

$\mathbb {H} ^{p,q}=O(p,q+1)/(O(p)\times O(q+1))$.

Um ein konkretes Modell zu bekommen, betrachte man den pseudo-Euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{p,q+1}$, d. h. den $\mathbb {R} ^{p+q+1}$ mit der Bilinearform $\langle X,Y\rangle =x_{1}y_{1}+\ldots +x_{p}y_{p}-x_{p+1}y_{p+1}-\ldots -x_{p+q+1}y_{p+q+1}$, und definiere

$\mathbb {H} ^{p,q}=\left\{X\in \mathbb {R} ^{p,q+1}\colon \langle X,X\rangle =-1\right\}/\left\{\pm Id\right\}.$

Die Bilinearform $\langle .,.\rangle$ induziert eine pseudo-Riemannsche Metrik auf $\mathbb {H} ^{p,q}\subset \mathbb {R} ^{p,q+1}$, die es zu einer total geodätischen Untermannigfaltigkeit der Schnittkrümmung konstant $-1$ macht.

Literatur

• Barrett O’Neill: Semi-Riemannian geometry. With applications to relativity. Pure and Applied Mathematics, 103. New York-London etc.: Academic Press. xiii, 468 p. (1983).

Weblinks

• B. Collier, N. Tholozan, J. Toulisse: The geometry of maximal representations of surface groups into SO(2,n). Duke Math. J. 168, No. 15, 2873-2949 (2019).
• J. Danciger, F. Gueritaud, F. Kassel: Convex cocompactness in pseudo-Riemannian hyperbolic spaces. Geom. Dedicata 192, 87-126 (2018).
• A. Seppi, E. Trebeschi: The half-space model of pseudo-hyperbolic space. Albujer, Alma L. (ed.) et al., Developments in Lorentzian geometry. Selected papers based on the presentations at the 10th international meeting on Lorentzian geometry, GeLoCor 2021, Cordoba, Spain, February 1–5, 2021. Cham: Springer. Springer Proc. Math. Stat. 389, 285-313 (2022).