Räumliches Tensorprodukt
Das im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtete räumliche Tensorprodukt bietet die Möglichkeit, aus C*-Algebren neue zu konstruieren. Im Allgemeinen gibt es mehrere Möglichkeiten, das algebraische Tensorprodukt zweier C*-Algebren zu einer C*-Algebra zu vervollständigen; die hier behandelte C*-Norm auf dem Tensorprodukt erweist sich als minimal unter diesen Möglichkeiten, weshalb man auch vom minimalen Tensorprodukt spricht. Die hier vorgestellte Konstruktion geht auf M. Takesaki zurück.[1]
Definitionen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es seien und zwei C*-Algebren. Eine C*-Norm auf dem algebraischen Tensorprodukt ist eine Norm , so dass
- ist eine normierte Algebra
- für alle
Ist eine solche C*-Norm, so ist die mit bezeichnete Vervollständigung eine C*-Algebra. Ist eine C*-Norm, die sich für jedes Paar von C*-Algebren und definieren lässt, so spricht man von einem -Tensorprodukt.[2]
Man kann zeigen, dass C*-Normen automatisch die Kreuznormeigenschaft haben, das heißt, es gilt für alle .[3]
In diesem Artikel werden mit Hilfe von Hilberträumen, auf denen die C*-Algebren operieren, mit bezeichnete C*-Normen definiert, wobei das wegen der verwendeten Hilberträume an spatial (deutsch: räumlich) erinnern soll.
Konstruktion
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es seien und zwei C*-Algebren. Nach dem Satz von Gelfand-Neumark gibt es Hilberträume und und isometrische *-Homomorphismen und , das heißt wir können annehmen, dass die C*-Algebren Unteralgebren der vollen Operatorenalgebra über geeigneten Hilberträumen sind. Man kann zum Beispiel die universellen Darstellungen nehmen. Man bildet nun das Hilbertraum-Tensorprodukt und betrachtet ein Element des algebraischen Tensorproduktes als Operator auf , der durch
definiert ist, wobei Wohldefiniertheit zu zeigen ist. Dann ist klar, dass die Einschränkung der Operatornorm von auf eine C*-Norm ist.
Unabhängigkeit von den Hilberträumen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Obige Konstruktion hängt zunächst von der Wahl der Hilberträume ab. Hier wird eine Formel für die räumliche Norm aufgestellt, die von den Hilberträumen unabhängig ist. Sind und Zustände auf bzw. , so gibt es genau einen mit bezeichneten Zustand auf mit für alle und , den sogenannten Produktzustand aus und . Für ein Element des algebraischen Tensorproduktes gilt nun
wobei das Supremum über alle Zustände von , von und mit gebildet wird[4]. Diese Formel zeigt die Unabhängigkeit von der Wahl der Hilberträume, denn auf der rechten Seite finden sich nur Daten der abstrakten C*-Algebren und ihrem algebraischen Tensorprodukt.
Zur Bezeichnung: Im unten angegebenen Lehrbuch von Kadison und Ringrose wird an Stelle von geschrieben, Murphy verwendet die Schreibweise .
Eigenschaften
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Sind und *-Homomorphismen zwischen C*-Algebren, so gibt es genau einen mit bezeichneten *-Homomorphismus , so dass für alle . Sind beide und isometrisch oder *-Isomophismen, so hat dieselbe Eigenschaft.[5]
- Ist eine C*-Norm auf dem algebraischen Tensorprodukt , so ist [6][7]. Aus diesem Grunde wird das räumliche Tensorprodukt auch das minimale Tensorprodukt genannt, und man findet bisweilen die Schreibweise .
Beispiele
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Seien eine C*-Algebra und ein kompakter Hausdorffraum. sei die Menge aller stetigen Funktionen . Für , und definiere:
- .
Damit wird zu einer C*-Algebra und man hat einen isometrischen Isomorphismus .[8]
Seien die C*-Algebra der komplexen -Matrizen und eine C*-Algebra, die auf einem Hilbertraum operiere. Weiter sei die Algebra der -Matrizen mit Einträgen aus ; diese operiert in üblicher Weise auf , das heißt
Dadurch trägt die Norm von und man zeigt, dass , wobei auf abgebildet wird.
Siehe auch
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Maximales Tensorprodukt, eine weitere Tensorproduktnorm für C*-Algebren
- Nukleare C*-Algebra, C*-Algebren mit eindeutiger Tensorproduktnorm
- Eine ganz ähnliche Konstruktion führt zu einem Tensorprodukt für Von-Neumann-Algebren.
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ M. Takesaki: On the cross-norm of the direct product of C*-algebras, Tohoku Mathematical Journal, Band 10 (1958), Seiten 111–122
- ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, §11.3
- ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Lemma 11.3.3
- ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Satz 11.1.2 und §11.3.1
- ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Satz 11.1.3
- ↑ Gerald. J. Murphy: C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press Inc. (1990), ISBN 0-12-511360-9, Theorem 6.4.18
- ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Theorem 11.3.9
- ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Beispiel 11.1.7
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Gerald. J. Murphy: C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press Inc. (1990), ISBN 0-12-511360-9
- R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1