Kreisteilungskörper

Kreisteilungskörper (auch: zyklotomische Körper) sind Studienobjekte des mathematischen Teilgebietes der algebraischen Zahlentheorie. Sie sind in gewisser Hinsicht besonders einfache Verallgemeinerungen des Körpers der rationalen Zahlen.

Definition

Es sei $n>2$ eine natürliche Zahl. Dann ist der $n$-te Kreisteilungskörper diejenige Körpererweiterung $\mathbb {Q} (\mu _{n})$ von $\mathbb {Q}$, die durch Adjunktion der Menge $\mu _{n}$ aller $n$-ten Einheitswurzeln entsteht.

Eigenschaften

• Ist $\zeta _{n}$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel, so ist das Minimalpolynom von $\zeta _{n}$ das $n$-te Kreisteilungspolynom $\Phi _{n}$, deshalb ist

$\mathbb {Q} (\mu _{n})=\mathbb {Q} (\zeta _{n})\cong \mathbb {Q} [T]/(\Phi _{n}(T)).$

Insbesondere ist der Erweiterungsgrad $[\mathbb {Q} (\mu _{n}):\mathbb {Q} ]=\varphi (n)$ mit der eulerschen φ-Funktion.

• Zwei Kreisteilungskörper $\mathbb {Q} (\mu _{n})$ und $\mathbb {Q} \mathbb {(} \mu _{m})$ mit $n<m$ sind genau dann gleich, wenn $n$ ungerade ist und $m=2n$ gilt.

• Die Adjunktion der $m$-ten Einheitswurzeln zu $\mathbb {Q} (\mu _{n})$ ergibt $\mathbb {Q} (\mu _{N})$ mit $N=\mathrm {kgV} (m,n).$

• Die Erweiterung $\mathbb {Q} (\mu _{n})|\mathbb {Q}$ ist galoissch. Die Galoisgruppe ist isomorph zu $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times };$ ist $\zeta _{n}$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel, so entspricht einem Element $k\in (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$ der durch

$\zeta _{n}\mapsto \zeta _{n}^{k}$

definierte Automorphismus von $\mathbb {Q} (\mu _{n}).$

• Der Ganzheitsring von $\mathbb {Q} (\mu _{n})$ ist $\mathbb {Z} [\zeta _{n}]$ mit einer beliebigen primitiven $n$-ten Einheitswurzel $\zeta _{n}$.

• Insbesondere ist der Ganzheitsring von $\mathbb {Q} (\mu _{4})=\mathbb {Q} ({\sqrt {-1}})$ gleich dem Ring der ganzen gaußschen Zahlen, der Ganzheitsring von $\mathbb {Q} (\mu _{3})=\mathbb {Q} (\mu _{6})=\mathbb {Q} ({\sqrt {-3}})$ ist gleich dem Ring der Eisenstein-Zahlen. Diese beiden Zahlkörper sind die einzigen algebraischen Erweiterungen der rationalen Zahlen, die sowohl Kreisteilungskörper als auch quadratische Erweiterungskörper sind.

Diskriminante und Verzweigung

Die Diskriminante von $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ für $n>2$ ist

$\Delta _{\mathbb {Q} (\zeta _{n})}=(-1)^{\frac {\varphi (n)}{2}}{\frac {n^{\varphi (n)}}{\prod _{p\mid n}p^{\frac {\varphi (n)}{p-1}}}}.$

Die in $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ verzweigten Primzahlen sind gerade die Primteiler der Diskriminante. Insbesondere ist eine ungerade Primzahl genau dann verzweigt in $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$, wenn sie ein Teiler von $n$ ist. Die $2$ ist genau dann verzweigt, wenn $4\mid n$. Eine Primzahl $p$ ist genau dann voll zerlegt, wenn $p\equiv 1{\pmod {n}}$ gilt.

Ist $n=\ell ^{\nu }>2$ eine Primzahlpotenz, so ist $\ell$ die einzige verzweigte Primzahl in $\mathbb {Q} (\zeta _{\ell ^{\nu }})$. $\ell$ ist dann unzerlegt und vollständig verzweigt. Man kann zeigen, dass $1-\zeta _{\ell ^{\nu }}$ ein Element mit Norm $\ell$ ist. Das einzige Primideal über $\ell$ ist also das Hauptideal, das von $1-\zeta _{\ell ^{\nu }}$ erzeugt wird:

$(\ell )=(1-\zeta _{\ell ^{\nu }})^{\ell ^{\nu -1}(\ell -1)}.$

Für die Diskriminante ergibt sich $\Delta _{\mathbb {Q} (\zeta _{\ell ^{\nu }})}=\pm \ell ^{\ell ^{\nu -1}(\nu \ell -\nu -1)}$.

Satz von Kronecker-Weber

Der Satz von Kronecker-Weber (nach L. Kronecker und H. Weber) besagt, dass jeder algebraische Zahlkörper mit abelscher Galoisgruppe in einem Kreisteilungskörper enthalten ist. Die maximale abelsche Erweiterung von $\mathbb {Q}$ entsteht also durch Adjunktion aller Einheitswurzeln.

Idealklassengruppe

Die Klassenzahl $h_{n}$ von $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ besteht aus zwei ganzzahligen Faktoren $h_{n}^{+}$ und $h_{n}^{-}$. Hierbei ist $h_{n}^{+}$ die Klassenzahl des maximalen reellen Teilkörpers $\mathbb {Q} (\zeta _{n})^{+}=\mathbb {Q} (\zeta _{n}+\zeta _{n}^{-1})$ und $h_{n}^{-}:=h_{n}/h_{n}^{+}$ die Relativklassenzahl. Die Idealklassengruppe $C_{n}^{+}$ von $\mathbb {Q} (\zeta _{n})^{+}$ kann als Untergruppe der Idealklassengruppe $C_{n}$ von $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ aufgefasst werden.

Die Relativklassenzahl $h_{n}^{-}$ kann mithilfe von Dirichlet-Charakteren und Bernoulli-Zahlen explizit bestimmt werden.

Die Klassenzahl $h_{n}$ von $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ zu bestimmen, ist im Allgemeinen schwierig. Aus dem Satz von Brauer-Siegel, der eine Aussage über das asymptotische Verhalten der Klassenzahl macht, lässt sich folgern, dass $h_{n}\to \infty$ für $n\to \infty$. Insbesondere gibt es nur endlich viele Kreisteilungskörper mit Klassenzahl $1$. Die vollständige Liste aller $n$ mit $h_{n}=1$ lautet

$1,2,3,\dots ,22,24,25,26,27,28,30,32,33,34,35,36,38,40,42,44,45,48,50,54,60,66,70,84,90.$

In genau diesen Fällen ist $\mathbb {Z} [\zeta _{n}]$ ein Hauptidealring und es gibt eine eindeutige Primfaktorzerlegung von Elementen.

Die ungelöste Vandiver-Vermutung sagt voraus, dass die Primzahl $p$ kein Teiler von $h_{p}^{+}$ ist.

Literatur

• Serge Lang: Cyclotomic Fields I and II (= Graduate Texts in Mathematics. 121). Combined 2nd edition. Springer, New York NY u. a. 1990, ISBN 3-540-96671-4.
• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992, ISBN 3-540-54273-6.
• Lawrence C. Washington: Introduction to Cyclotomic Fields (= Graduate Texts in Mathematics. 83). Springer, Berlin u. a. 1982, ISBN 3-540-90622-3 (2nd edition. Springer, New York u. a. 1997, ISBN 0-387-94762-0).
• Senon I. Borewicz, Igor R. Šafarevič: Zahlentheorie (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe. 32). Springer, Basel 1966, ISBN 978-3-0348-6945-4.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Cyclotomic Field. In: MathWorld (englisch).
• L.V. Kuz’min: Cyclotomic field. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). Vorlage:EoM/id