Satz von Mertens (Resultantensystem)

Der Satz von Mertens ist ein Satz über homogene Polynome, der unter anderem in der algebraischen Geometrie für projektiv algebraische Mengen relevant ist.

Formulierung

Seien K ein algebraisch abgeschlossener Körper und $f_{1},...,f_{r}\in K[t_{0},...,t_{n}]$ homogene Polynome der Grade $g_{1},...,g_{r}$:

$f_{I}=\sum _{I}a_{I}^{(i)}t_{0}^{i_{0}}...t_{n}^{i_{n}}$

Dann gibt es ein Resultantensystem, das heißt Polynome $R_{1},...,R_{N}$ in den Unbestimmten $a_{I}^{(i)}$, sodass die Polynome $f_{1},...,f_{r}$ eine gemeinsame Nullstelle außer 0 haben (also eine im projektiven Raum), genau dann wenn für alle k $R_{k}(a_{I}^{(i)})=0$

Beweis

$f_{1},...,f_{r}$ haben keine gemeinsame Nullstelle außer 0 genau dann, wenn ihre gemeinsame Nullstellenmenge in der Nullstellenmenge von $t_{0},...,t_{n}$ enthalten ist, die ja nur die 0 ist. Wie man sich mit Hilfe des Hilbertschen Nullstellensatzes leicht überlegen kann, ist dies genau dann der Fall, wenn es eine natürliche Zahl d gibt, sodass ${\underline {t}}^{D}\in <f_{1},...,f_{r}>$ für alle Multiindizes mit Betrag d. Also sind alle Monome des Grades d in diesem Ideal enthalten, lassen sich also darstellen als Summe dieser mit anderen ohne Einschränkung homogenen Polynomen als Koeffizienten. Unter den ${\underline {t}}^{D}f_{i}$, wobei $|D|=d-g_{i}$ muss es also soviel linear unabhängige geben wie Monome des Grades d. Also gilt: Sie haben keine gemeinsame Nullstelle außer der 0 genau dann, wenn für alle natürlichen Zahlen d je $e_{d}$ (Anzahl Monome des Grades d) der ${\underline {t}}^{D}f_{i}$ linear unabhängig sind. Dies ist äquivalent zum Verschwinden von $e_{d}$ -Unterdeterminanten gebildet aus 0 und $a_{I}^{(i)}$. Dies sind Polynome in den $a_{I}^{(i)}$ und wegen Noetherzität von $K[t_{0},....,t_{n}]$ (Hilbertscher Basissatz) reichen endlich viele.

Literatur

• Franz Mertens: Zur Theorie der Elimination (= Sitzungsberichte der Wiener Akademie der Wissenschaften), Band 108 (1889), Seite 1174.
• B. L. van der Waerden: Zur Konstruktion des Resultantensystems für homogene Gleichungen. In: Archiv der Mathematik, Band 5 (1954), Heft 4–6, S. 371ff, ISSN 0003-889X