Satz von Miljutin

Der Satz von Miljutin (englisch Miljutin's theorem oder Milyutin's theorem oder Milutin's theorem) ist ein bedeutender Satz aus der Theorie der banachschen Funktionenräume stetiger reellwertiger Funktionen und gehört als solcher dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis an. Er geht auf eine Publikation des Mathematikers Alexej Alexejewitsch Miljutin (1925–2001) aus dem Jahre 1966 zurück und liefert eine grundlegende Isomorphieaussage für eine gewisse Klasse dieser Funktionenräume.

Darstellung des Satzes

Er besagt folgendes:

Gegeben seien das reelle Einheitsintervall $I=[0,1]\subset \mathbb {R}$ mit dem zugehörigen $\mathbb {R}$-Banachraum der stetigen reellen Funktionen ${\mathcal {C}}(I)$ und in gleicher Weise ein weiterer kompakter, metrischer Raum $K$ mit dem zugehörigen $\mathbb {R}$-Banachraum der stetigen reellen Funktionen ${\mathcal {C}}(K)$, beide jeweils versehen mit der Supremumsnorm ${||\cdot ||}_{\infty }$.

Dann gilt:

Ist $K$ als Menge überabzählbar, so ist ${\mathcal {C}}(I)$ zu ${\mathcal {C}}(K)$ isomorph.

Insbesondere gilt weiter:

Für je zwei überabzählbare kompakte metrische Räume $K$ und $L$ sind die zugehörigen banachschen Funktionenräume ${\mathcal {C}}(K)$ und ${\mathcal {C}}(L)$ stets isomorph.

Historie

Es wird berichtet, dass Miljutin seinen Satz schon im Jahre 1952 im Rahmen seiner Dissertation vorgetragen, jedoch zunächst nicht in einer Fachzeitschrift veröffentlicht hätte. Erst Aleksander Pełczyński soll anlässlich eines Aufenthalts in Moskau in den 1960er Jahren Miljutin gedrängt haben, den Satz zu publizieren, woraufhin er in 1966 zur Veröffentlichung kam. Hinsichtlich des Hintergrunds ist zu erwähnen, dass schon im Jahre 1932 Stefan Banach in seinem Werk Théorie des opérations linéaires die Frage aufgeworfen hatte, ob eine Isomorphie der beiden Funktionenräume ${\mathcal {C}}(I)$ und ${\mathcal {C}}\left(I\times I\right)$ gegeben sei.

Verwandter Satz

Auf den polnischen Mathematiker Karol Borsuk geht ein verwandter Satz aus dem Jahre 1933 zurück:

Gegeben seien ein unendlicher, kompakter, metrischer Raum $K$ mit dem zugehörigen $\mathbb {R}$-Banachraum der stetigen reellen Funktionen ${\mathcal {C}}(K)$ sowie eine abgeschlossener Unterraum $E\subseteq K$ mit dem zugehörigen $\mathbb {R}$-Banachraum der stetigen reellen Funktionen ${\mathcal {C}}(E)$, beide jeweils versehen mit der Supremumsnorm ${||\cdot ||}_{\infty }$.

Dann gilt:

Es existiert ein stetiger linearer Operator $T\colon {\mathcal {C}}(E)\to {\mathcal {C}}(K)$ mit folgenden Eigenschaften:

(i) ${(Tf)}|_{E}=f\;(\forall f\in {\mathcal {C}}(E))$

(ii) ${T{1}}=1$

(iii) $\|T\|=1$

Siehe auch

• Satz von Banach-Stone

Literatur

• Fernando Albiac, Nigel J. Kalton: Topics in Banach Space Theory (= Graduate Texts in Mathematics. Band 233). Springer-Verlag, New York 2006, ISBN 978-0-387-28141-4. 
• Graham R. Allan: Introduction to Banach Spaces and Algebras (= Oxford Graduate Texts in Mathematics. Band 20). Oxford University Press, Oxford 2011, ISBN 978-0-19-920654-4. 
• Stefan Banach: Théorie des opérations linéaires (= Math. Monographien. Band 1). Inst. Math. Poln. Akad. Wiss., Warschau 1932. 
• K. Borsuk: Über Isomorphie der Funktionalräume. In: Bull. Int. Acad. Pol. Sci. 1933, S. 1–10. 
• A. A. Miljutin: Isomorphism of the spaces of continuous functions over compact sets of the cardinality of the continuum. (Russisch). In: Teor. Funkciĭ Funkcional. Anal. Priložen. Vyp. 2. 1966, S. 150–156. 
• Albrecht Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. Birkhäuser Verlag, Boston, Basel, Berlin 2007, ISBN 0-8176-4367-2.