Satz von Whitehead-Serre

Der Satz von Whitehead-Serre ist ein mathematischer Lehrsatz aus der algebraischen Topologie, speziell der Homotopietheorie.

Homotopiegruppen topologischer Räume sind notorisch schwer zu berechnen, während es für die Berechnung der Homologiegruppen von CW-Komplexen einfache Algorithmen gibt. Der Satz von Whitehead-Serre besagt jedoch, dass für einfach zusammenhängende Räume die rationalen Homotopiegruppen ebenso einfach berechnet werden können wie die rationalen Homologiegruppen.

Er ist nach J. H. C. Whitehead und Jean-Pierre Serre benannt.

Satz von Whitehead-Serre

Sei

$f\colon X\to Y$

eine stetige Abbildung zwischen einfach zusammenhängenden Räumen. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent:

• $f_{*}\otimes id\colon \pi _{*}(X)\otimes \mathbb {Q} \to \pi _{*}(Y)\otimes \mathbb {Q}$ ist ein Isomorphismus.
• $f_{*}\colon H_{*}(X;\mathbb {Q} )\to H_{*}(Y;\mathbb {Q} )$ ist ein Isomorphismus.

Verwandte Sätze

Eng mit dem Satz von Whitehead-Serre hängt der Satz von Whitehead zusammen, dass eine stetige Abbildung zwischen einfach zusammenhängenden Räumen genau dann eine schwache Homotopieäquivalenz ist, wenn sie einen Isomorphismus der singulären Homologiegruppen induziert.

Weiterhin gilt für $r$-zusammenhängende Räume mit $r\geq 2$, dass der durch den Satz von Hurewicz gegebene Homomorphismus $\pi _{r}(X)\to H_{r}(X;\mathbb {Z} )$ einen Isomorphismus

$\pi _{r}(X)\otimes \mathbb {Q} \simeq H_{r}(X;\mathbb {Q} )$

induziert.

Literatur

• Yves Félix, Steve Halperin, J.C. Thomas: ‘‘Rational Homotopy Theory‘‘, Graduate Texts in Mathematics, 205, Springer-Verlag, 2000.