Selbstadjungiertes Element

In der Mathematik nennt man ein Element einer *-Algebra selbstadjungiert, wenn sein Adjungiertes dasselbe Element ist.

Definition

Sei ${\mathcal {A}}$ eine *-Algebra, so heißt ein Element $a\in {\mathcal {A}}$ selbstadjungiert, falls $a=a^{*}$ gilt.

Die Menge der selbstadjungierten Elemente wird mit ${\mathcal {A}}_{sa}$ bezeichnet.

Eine Teilmenge ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {A}}$, die unter der Involution * abgeschlossen ist, also ${\mathcal {B}}={\mathcal {B}}^{*}$ erfüllt, heißt selbstadjungiert.

Besonders interessant ist der Fall, bei dem ${\mathcal {A}}$ eine vollständige normierte *-Algebra ist, die die C*-Eigenschaft ($\left\|a^{*}a\right\|=\left\|a\right\|^{2}\ \forall a\in {\mathcal {A}}$) erfüllt, eine sogenannte C*-Algebra.

Vor allem in der älteren Literatur zu *-Algebren bzw. C*-Algebren werden solche Elemente häufig auch hermitesch genannt. Auch in der neueren Literatur finden sich teilweise in Anlehnung daran die Schreibweisen ${\mathcal {A}}_{h}$, ${\mathcal {A}}_{H}$ oder $H({\mathcal {A}})$ für die Menge der selbstadjungierten Elemente.

Beispiele

• Jedes positive Element einer C*-Algebra ist selbstadjungiert.
• Für jedes Element $a$ einer *-Algebra sind die Elemente $aa^{*}$ und $a^{*}a$ selbstadjungiert, da * ein involutiver Antiautomorphismus ist.
• Für jedes Element $a$ einer *-Algebra sind Real- und Imaginärteil ${\textstyle \operatorname {Re} (a)={\frac {1}{2}}(a+a^{*})}$ und ${\textstyle \operatorname {Im} (a)={\frac {1}{2\mathrm {i} }}(a-a^{*})}$ selbstadjungiert, wobei $\mathrm {i}$ die imaginäre Einheit bezeichnet.
• Sei $a\in {\mathcal {A}}_{N}$ ein normales Element einer C*-Algebra ${\mathcal {A}}$, dann definiert jede reellwertige Funktion $f$, die auf dem Spektrum von $a$ stetig ist, mittels stetigem Funktionalkalkül ein selbstadjungiertes Element $f(a)$.

Kriterien

Sei ${\mathcal {A}}$ eine *-Algebra. Dann gilt:

• Sei $a\in {\mathcal {A}}$, dann ist $a^{*}a$ selbstadjungiert, da $(a^{*}a)^{*}=a^{*}(a^{*})^{*}=a^{*}a$ gilt. Analog rechnet man nach, dass auch $aa^{*}$ selbstadjungiert ist.
• Ist $a=a_{1}a_{2}$ das Produkt zweier selbstadjungierter Elemente $a_{1},a_{2}\in {\mathcal {A}}_{sa}$. Dann ist $a$ genau dann selbstadjungiert, wenn $a_{1}$ und $a_{2}$ kommutieren, da stets $(a_{1}a_{2})^{*}=a_{2}^{*}a_{1}^{*}=a_{2}a_{1}$ gilt.
• Ist ${\mathcal {A}}$ eine C*-Algebra, so ist ein normales Element $a\in {\mathcal {A}}_{N}$ genau dann selbstadjungiert, wenn sein Spektrum reell ist, also $\sigma (a)\subseteq \mathbb {R}$.

Eigenschaften

In *-Algebren

Sei ${\mathcal {A}}$ eine *-Algebra. Dann gilt:

• Jedes Element $a\in {\mathcal {A}}$ kann eindeutig in Real- und Imaginärteil zerlegt werden, das heißt es existieren eindeutig bestimmte Elemente $a_{1},a_{2}\in {\mathcal {A}}_{sa}$, sodass $a=a_{1}+\mathrm {i} a_{2}$ gilt. Dabei ist ${\textstyle a_{1}={\frac {1}{2}}(a+a^{*})}$ und ${\textstyle a_{2}={\frac {1}{2\mathrm {i} }}(a-a^{*})}$.
• Die Menge der selbstadjungierten Elemente ${\mathcal {A}}_{sa}$ ist ein reeller Untervektorraum von ${\mathcal {A}}$. Aus der vorherigen Eigenschaft ergibt sich, dass ${\mathcal {A}}$ die direkte Summe zweier reeller Untervektorräume ist, also ${\mathcal {A}}={\mathcal {A}}_{sa}\oplus \mathrm {i} {\mathcal {A}}_{sa}$.
• Sei $a\in {\mathcal {A}}_{sa}$ selbstadjungiert, dann ist $a$ normal.
• Die *-Algebra ${\mathcal {A}}$ heißt hermitesche *-Algebra, wenn jedes selbstadjungierte Element $a\in {\mathcal {A}}_{sa}$ ein reelles Spektrum $\sigma (a)\subseteq \mathbb {R}$ hat.

In C*-Algebren

Sei ${\mathcal {A}}$ eine C*-Algebra und $a\in {\mathcal {A}}_{sa}$. Dann gilt:

• Für das Spektrum gilt $\left\|a\right\|\in \sigma (a)$ oder $-\left\|a\right\|\in \sigma (a)$, da $\sigma (a)$ reell ist und für den Spektralradius $r(a)=\left\|a\right\|$ gilt, weil $a$ normal ist.
• Es existieren nach dem stetigen Funktionalkalkül eindeutig bestimmte positive Elemente $a_{+},a_{-}\in {\mathcal {A}}_{+}$, sodass $a=a_{+}-a_{-}$ mit $a_{+}a_{-}=a_{-}a_{+}=0$. Es gilt $\left\|a\right\|=\max(\left\|a_{+}\right\|,\left\|a_{-}\right\|)$. Man bezeichnet $a_{+}$ und $a_{-}$ auch als Positiv- und Negativteil. Darüber hinaus gilt $|a|=a_{+}+a_{-}$ für den für ein beliebiges Element definierten Betrag ${\textstyle |a|=(a^{*}a)^{\frac {1}{2}}}$.
• Es existiert für jedes $a\in {\mathcal {A}}_{+}$ und ungerades $n\in \mathbb {N}$ ein eindeutig bestimmtes $b\in {\mathcal {A}}_{+}$, das $b^{n}=a$ erfüllt, das heißt eine $n$-te Wurzel, wie man mit dem stetigen Funktionalkalkül zeigen kann.

Siehe auch

• Selbstadjungierte Matrix
• Selbstadjungierter Operator

Literatur

• Jacques Dixmier: C*-algebras. Aus dem Französischen von Francis Jellett. North-Holland, Amsterdam/New York/Oxford 1977, ISBN 0-7204-0762-1.
• Richard V. Kadison, John R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Volume 1 Elementary Theory. Academic Press, New York/London 1983, ISBN 0-12-393301-3.
• Theodore W. Palmer: Banach algebras and the general theory of*-algebras: Volume 2,*-algebras. Cambridge university press, 1994, ISBN 0-521-36638-0.