Standardabschätzung für Wegintegrale

In der Funktionentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, gibt die Standardabschätzung für Wegintegrale, auch bekannt als die ML-Ungleichung, eine obere Schranke für ein Konturintegral an. Wenn $f$ eine komplexwertige, stetige Funktion auf der Kontur $\Gamma$ ist und ihr Absolutwert $|f(z)|$ für alle $z$ auf $\Gamma$ durch eine Konstante $M$ begrenzt ist, dann

$\left|\int _{\Gamma }f(z)\,dz\right|\leq M\,\ell (\Gamma ),$

wobei $\ell (\Gamma )$ die Länge von $\Gamma$ bezeichnet. Wir können das Supremum

$M:=\sup _{z\in \Gamma }|f(z)|$

als obere Schranke nehmen. Das Lemma wird oft genutzt, um zu zeigen, dass ein gewisses Integral für $\vert z\vert \to \infty$ gegen 0 geht.

Beweis

Der Beweis ist relativ einfach. Wir nutzen die Ungleichung für den Betrag eines Integrals:

$\left|\int _{\Gamma }f(z)\,dz\right|=\left|\int _{\alpha }^{\beta }f(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt\right|\leq \int _{\alpha }^{\beta }\left|f(\gamma (t))\right|\left|\gamma '(t)\right|\,dt\leq \int _{\alpha }^{\beta }M\left|\gamma '(t)\right|\,dt=M\int _{\alpha }^{\beta }\left|\gamma '(t)\right|\,dt=M\,\ell (\Gamma )$

Siehe auch

• Lemma von Jordan

Literatur

• E. B. Saff, A. D. Snider: Fundamentals of Complex Analysis for Mathematics, Science, and Engineering. 2. Auflage, Prentice Hall, 1993, ISBN 978-0133274615.
• J.M. Howie: Complex Analysis. Springer, 2003.