Stationärer Zustand

Ein stationärer Zustand $|\psi \rangle$ ist in der Quantenmechanik eine Lösung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung. Er ist ein Eigenzustand des Hamiltonoperators $H$ des betrachteten physikalischen Systems. Seine Energie $E$ ist ein Eigenwert dieses Operators. In Dirac-Notation gilt damit für den stationären Zustand die Gleichung:

$H|\psi \rangle =E|\psi \rangle .$

In Ortsdarstellung hat ein stationärer Zustand die Form:

$\langle \mathbf {r} |\psi \rangle =\psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} ,t=0)\cdot \exp \left({-{\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}Et}\right)$

mit

• $\psi ()$, der Wellenfunktion
• $\mathbf {r}$, dem Ortsvektor
• $\exp$, der Exponentialfunktion
• $\mathrm {i}$, der imaginären Einheit
• $\hbar$, der reduzierten Planckschen Konstanten

Das Betragsquadrat $\textstyle |\langle \mathbf {r} |\psi \rangle |^{2}$ (die für physikalische Messungen ausschlaggebende Wahrscheinlichkeitsverteilung) der Wellenfunktion ist somit unabhängig von der Zeit $t$.

Allgemeiner werden als stationäre Zustände eines (nicht notwendigerweise abgeschlossenen) Quantensystems die Zustände bezeichnet, für die die Dichtematrix ${\hat {\rho }}$ des Systems zeitlich konstant ist. Dies schließt die oben genannten Eigenzustände, für diese gilt

${\frac {\partial {\hat {\rho }}}{\partial t}}={\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}\left[{\hat {\rho }},{\hat {H}}\right]=0$

ebenso ein, wie die stationären Zustände offener Quantensysteme, deren Dynamik durch eine Lindblad-Mastergleichung

${\frac {\partial {\hat {\rho }}}{\partial t}}={\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}{\mathcal {L}}(\rho )$

gegeben ist und für die die Zustände im Kern des Liouvilleoperators ${\mathcal {L}}$ stationär sind, d. h. die Zustände $\rho _{\mathrm {s} }$ mit ${\mathcal {L}}(\rho _{\mathrm {s} })=0$.