Stetige Konvergenz

Stetige Konvergenz (englisch continuous convergence) ist ein mathematischer Begriff, der sowohl in der Funktionalanalysis und als auch in der numerischen Mathematik und nicht zuletzt in der Approximationstheorie, der Optimierungstheorie und der Variationsrechnung Verwendung findet. Mit ihm verbunden sind die Begriffe der gleichgradigen Stetigkeit und der kompakten Konvergenz.

Definition

Gegeben seien zwei beliebige metrische Räume $X$ und $Y$ sowie abzählbar viele Funktionen $f,\;f_{1},f_{2},f_{3}\ldots \;\;\colon X\to Y$.

Man sagt dann, die Funktionenfolge $(f_{n})_{n=1,2,\ldots }$ sei stetig konvergent gegen $f$, falls folgende Bedingung erfüllt ist:

Für $x\in X$ und für jede in $X$ konvergente Folge $x_{n}\rightarrow x\ (n\to \infty \;,\;x_{n}\in X)$ gilt in $Y$ stets die Konvergenz $f_{n}(x_{n})\rightarrow f(x)\ (n\to \infty )$.

Man sagt dann auch, die Funktionenfolge der $f_{n}$ konvergiere stetig gegen $f$ oder Ähnliches.

Zusammenhang der Begrifflichkeiten

Der Zusammenhang zwischen stetiger Konvergenz, kompakter Konvergenz und gleichgradiger Stetigkeit wird durch folgenden Satz aufgezeigt:

Für abzählbar viele Funktionen $f,f_{1},f_{2},f_{3}\ldots \;\colon X\to Y$ zweier metrischer Räume $X$ und $Y$ gelte $f_{n}{\xrightarrow {\text{punktweise}}}f\ (n\to \infty )$ und die $f_{n}$ seien alle stetig.

Dann sind die folgenden Aussagen gleichwertig:

(i) Die $f_{n}$ bilden eine gleichgradig stetige Funktionenfolge.

(ii) $f$ ist eine stetige Funktion und die Funktionenfolge konvergiert stetig gegen $f$.

(iii) Die Funktionenfolge konvergiert kompakt gegen $f$.

Der Satz von Dini

In den obigen Zusammenhang lässt sich nicht zuletzt der bekannte Satz von Dini bringen, der in einer erweiterten Fassung folgendermaßen dargestellt werden kann:

Gegeben seien auf einem metrischen Raum eine punktweise konvergente und monotone Funktionenfolge reellwertiger stetiger Funktionen, deren Grenzfunktion ebenfalls stetig sein soll.

Dann ist die Konvergenz dieser Funktionenfolge stetig und auf jeder kompakten Teilmenge des metrischen Raums gleichmäßig.

Stetige Konvergenz auf Banachräumen

Als weiteres Resultat aus dem obigen Satz gewinnt man ein Resultat für gewisse Folgen konvexer Funktionale auf Banachräumen:

Gegeben seien ein Banachraum $X$ und darin ein konvexes Gebiet $U\subseteq X$ sowie eine Funktionenfolge von stetigen konvexen Funktionen $f_{1},f_{2},f_{3}\ldots \;\colon U\to \mathbb {R}$, welche punktweise gegen eine Grenzfunktion $f\colon U\to \mathbb {R}$ konvergieren sollen.

Dann gilt:

(1) Die Grenzfunktion ist konvex und stetig.

(2) Die Funktionenfolge konvergiert stetig und kompakt.

Anmerkungen

• Aus stetiger Konvergenz folgt stets punktweise Konvergenz.
• Jeder Banachraum ist ein normierter Raum und als solcher unter der zugehörigen Metrik ein vollständiger Raum.

Literatur

• Peter Kosmol: Optimierung und Approximation (= De Gruyter Studium). 2. Auflage. Walter de Gruyter & Co., Berlin 2010, ISBN 978-3-11-021814-5 (MR2599674). 
• Peter Kosmol, Dieter Müller-Wichards: Optimization in Function Spaces. With stability considerations in Orlicz spaces (= De Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications. Band 13). Walter de Gruyter & Co., Berlin 2011, ISBN 978-3-11-025020-6 (MR2760903).