Summe von drei Kubikzahlen

Einfach-logarithmischer Graph der Lösungen der Gleichung x³ + y³ + z³ = n mit ganzzahligen x, y und z, und n aus [0, 100]. Grüne Balken bedeuten, dass es für diese n nachweislich keine Lösungen gibt.

Welche Eigenschaft muss eine ganze Zahl $n\in \mathbb {Z}$ haben, damit sie als Summe dreier Kubikzahlen $x^{3},\ y^{3}$ und $z^{3}$ mit ganzzahligen Basen $x,y,z\in \mathbb {Z}$ darstellbar ist?
Wie lauten zu einer gegebenen Zahl $n$ mögliche Zahlentripel $x,\ y$ und $z$, so dass $n=x^{3}+y^{3}+z^{3}$ erfüllt ist? Wie viele Lösungen gibt es für eine gegebene Zahl $n$?

Die Lösungen dieser diophantischen Gleichung für gegebene $n$ ist ein seit 160 Jahren ungelöstes Problem der Zahlentheorie.

Lösungen der Gleichung

Darstellungen für n = 0

Die einfachste triviale Darstellung für $n=0$ als Summe dreier Kubikzahlen lautet:

$0=0^{3}+0^{3}+0^{3}$.

Weitere triviale Darstellungen lauten:

$0=0^{3}+a^{3}+(-a)^{3}$  mit  $a\in \mathbb {Z}$.

Nichttriviale Darstellungen existieren nicht.

Beweis:

Angenommen, es existiert eine nichttriviale Darstellung der Form $0=x^{3}+y^{3}+z^{3}$ mit $x,y,z\not =0$ . Genau eine oder zwei der Variablen $x,y,z$ müssen negativ sein, denn sie können nicht alle drei gleichzeitig positiv oder negativ sein. Ohne Bedingung der Allgemeinheit kann angenommen werden, dass $x>0,y>0,z<0$ (Im Fall von zwei negativen Variablen, betrachtet man die Lösung $-x,-y,-z$). Bringt man $z^{3}$ auf die rechte Seite, erhält man mit $x^{3}+y^{3}=-z^{3}$ eine ganzzahlige Lösung für die Gleichung $x^{3}+y^{3}=z'^{3}$ mit $z'=-z>0$. Dies steht aber im Widerspruch zum auf Kubikzahlen angewendeten Großen Fermatscher Satz, der besagt, dass die Gleichung $x^{3}+y^{3}=z^{3}$ für positive ganze Zahlen $x,y,z\in \mathbb {N}$ keine Lösungen besitzt. Somit muss die Annahme fallengelassen werden, was bedeutet, dass es keine nichttriviale Darstellung der Form $x^{3}+y^{3}+z^{3}=0$ geben kann.  ∎ 

Darstellungen für n = 1

Die triviale Darstellung für $n=1$ als Summe dreier Kubikzahlen lautet:

$1=0^{3}+0^{3}+1^{3}$.

Neben dieser existieren aber auch weitere Darstellungen, wie z. B.:

$1=(-6)^{3}+(-8)^{3}+9^{3}$

$...$

$1=131769^{3}+(-131802)^{3}+11980^{3}$.

Neben diesen Einzellösungen existieren aber auch ganze Familien von Darstellungen. Die einfachste lautet:

$1=c^{3}+(-c)^{3}+1^{3}$  mit  $c\in \mathbb {Z}$.

Zwei kompliziertere Lösungsfamilien wurden im Jahr 1936 vom Mathematiker Kurt Mahler entdeckt:

$1=(9c^{4})^{3}+(\pm 3c-9c^{4})^{3}+(1\mp 9c^{3})^{3}$  mit  $c\in \mathbb {Z}$

$\ \ =\underbrace {\bcancel {729c^{12}}} _{4}\quad \pm \underbrace {\bcancel {27c^{3}}} _{1}-\underbrace {\bcancel {243c^{6}}} _{2}\pm \underbrace {\bcancel {729c^{9}}} _{3}-\underbrace {\bcancel {729c^{12}}} _{4}\quad +1\mp \underbrace {\bcancel {27c^{3}}} _{1}+\underbrace {\bcancel {243c^{6}}} _{2}\mp \underbrace {\bcancel {729c^{9}}} _{3}=1$

wie auch folgende:

$1=(-135c^{4}+3888c^{10})^{3}+(3c-81c^{4}-1296c^{7}-3888c^{10})^{3}+(1-9c^{3}+648c^{6}+3888c^{9})^{3}$  mit  $c\in \mathbb {Z}$.

Für $n=1$ lieferte Lehmer unendlich viele polynomische Lösungsfamilien. Neben

$(x_{c,0},y_{c,0},z_{c,0})=(9c^{4},+3c-9c^{4},1-9c^{3})$,

$(x_{c,1},y_{c,1},z_{c,1})=(9c^{4},-3c-9c^{4},1+9c^{3})$

lassen sich für jedes einzelne $c\in \mathbb {Z}$ unendlich viele weitere Tripel $(x_{c,k},y_{c,k},z_{c,k})$ mit $k\geq 2$ rekursiv mittels

$x_{c,k}=2\,(216c^{6}-1)x_{c,k-1}-x_{c,k-2}-108c^{4}$,

$y_{c,k}=2\,(216c^{6}-1)y_{c,k-1}-y_{c,k-2}-108c^{4}$ und

$z_{c,k}=2\,(216c^{6}-1)z_{c,k-1}-z_{c,k-2}+216c^{6}+4$

konstruieren. Für $k=0$ und $1$ erhält man die einfachen Lösungen von Kurt Mahler, für $k=2$ die kompliziertere.

Darstellungen für n = 2

Die triviale Darstellung für $n=2$ als Summe dreier Kubikzahlen lautet:

$2=0^{3}+1^{3}+1^{3}$.

Eine im Jahr 1908 entdeckte nichttriviale Darstellungs-Familie lautet

$2=(1+6c^{3})^{3}+(1-6c^{3})^{3}+(-6c^{2})^{3}$  mit  $c\in \mathbb {Z}$.

Weitere bekannte Darstellungen, die nicht der obigen Familie angehören, sind:

${\begin{array}{lrcrcr}2=&1214928^{3}&+&3480205^{3}&+&(-3528875)^{3}\\2=&37404275617^{3}&+&(-25282289375)^{3}&+&(-33071554596)^{3}\\2=&3737830626090^{3}&+&1490220318001^{3}&+&(-3815176160999)^{3}\end{array}}$

Darstellungen für n = 3

Bis September 2019 waren die einzigen bekannten Darstellungen für $n=3$ als Summe dreier Kubikzahlen folgende:

$3=1^{3}+1^{3}+1^{3}$  und

$3=4^{3}+4^{3}+(-5)^{3}$

Überraschenderweise wurde im September 2019 eine weitere Darstellung entdeckt:

$3=569936821221962380720^{3}+(-569936821113563493509)^{3}+(-472715493453327032)^{3}$

Man weiß nicht, ob es nur diese drei, endlich viele oder unendlich viele Darstellungen für $n=3$ gibt.

Darstellungen für n = 4 und 5

Für $n=4$ und $5$ gibt es keine Lösungen.

Darstellungen für n = 6

Es gibt mehrere Darstellungen; die für $|x|\leq |y|\leq |z|\leq 1000$ lauten:

$6=(-1)^{3}+(-1)^{3}+2^{3}$

$6=(-43)^{3}+(-58)^{3}+65^{3}$

$6=(-55)^{3}+(-235)^{3}+236^{3}$

$6=(-205)^{3}+(-637)^{3}+644^{3}$

Darstellungen für n = 7

Es gibt mehrere Darstellungen; die für $|x|\leq |y|\leq |z|\leq 1000$ lauten:

$7=0^{3}+(-1)^{3}+2^{3}$

$7=32^{3}+104^{3}+(-105)^{3}$

$7=44^{3}+168^{3}+(-169)^{3}$

Konstruierbare Lösungen für n = k³m

Lässt sich $n$ als Produkt einer Kubikzahl $k^{3}$ und einer Zahl $m$ darstellen, erbt diese Zahl $n$ alle Lösungen der Zahl $m$ auf folgende Weise:

$m=x^{3}+y^{3}+z^{3}\quad \longrightarrow \quad n=k^{3}m=k^{3}(x^{3}+y^{3}+z^{3})\quad \longrightarrow \quad n=k^{3}m=(kx)^{3}+(ky)^{3}+(kz)^{3}$

Beispiel

$1=(-6)^{3}+(-8)^{3}+9^{3}\quad \longrightarrow \quad 8=(-12)^{3}+(-16)^{3}+18^{3}$

Jeweils kleinste Darstellungen für n = 0 bis 107

Folgende Tabelle enthält für $0\leq n\leq 107,\ n\in \mathbb {N} _{0}$ die jeweils kleinsten Lösungen der Gleichung $n=x^{3}+y^{3}+z^{3}$ mit $|x|\leq |y|\leq |z|$, $\ x,y,z\in \mathbb {Z}$:

  Tabelle für $0\leq n\leq 107,\ n\in \mathbb {N} _{0}$ der jeweils kleinsten Lösungen der Gleichung $n=x^{3}+y^{3}+z^{3}$ mit $|x|\leq |y|\leq |z|$, $\ x,y,z\in \mathbb {Z}$

für $0\leq n\leq 26$ $n$ $x$ $y$ $z$ 0 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 1 3 1 1 1 4 keine Lösung 5 6 −1 −1 2 7 0 −1 2 8 0 0 2 9 0 1 2 10 1 1 2 11 −2 −2 3 12 7 10 −11 13 keine Lösung 14 15 −1 2 2 16 0 2 2 17 1 2 2 18 −1 −2 3 19 0 −2 3 20 1 −2 3 21 −11 −14 16 22 keine Lösung 23 24 2 2 2 25 −1 −1 3 26 0 −1 3

für $27\leq n\leq 53$ $n$ $x$ $y$ $z$ 27 0 0 3 28 0 1 3 29 1 1 3 30 −283059965 −2218888517 2220422932 31 Es existiert keine Lösung. 32 33 −2736111468807040 −8778405442862239 8866128975287528 34 −1 2 3 35 0 2 3 36 1 2 3 37 0 −3 4 38 1 −3 4 39 117367 134476 −159380 40 Es existiert keine Lösung. 41 42 12602123297335631 80435758145817515 −80538738812075974 43 2 2 3 44 −5 −7 8 45 2 −3 4 46 −2 3 3 47 6 7 −8 48 −2 −2 4 49 Es existiert keine Lösung. 50 51 602 659 −796 52 23961292454 60702901317 −61922712865 53 −1 3 3

für $54\leq n\leq 80$ $n$ $x$ $y$ $z$ 54 0 3 3 55 1 3 3 56 0 −2 4 57 1 −2 4 58 Es existiert keine Lösung. 59 60 −1 −4 5 61 0 −4 5 62 2 3 3 63 0 −1 4 64 0 0 4 65 0 1 4 66 1 1 4 67 Es existiert keine Lösung. 68 69 2 −4 5 70 11 20 −21 71 −1 2 4 72 7 9 −10 73 1 2 4 74 66229832190556 283450105697727 −284650292555885 75 4381159 435203083 −435203231 76 Es existiert keine Lösung. 77 78 26 53 −55 79 −19 −33 35 80 −6 −6 8

für $81\leq n\leq 107$ $n$ $x$ $y$ $z$ 81 3 3 3 82 −11 −11 14 83 −2 3 4 84 −8241191 −41531726 41639611 85 Es existiert keine Lösung. 86 87 −1972 −4126 4271 88 3 −4 5 89 6 6 −7 90 −1 3 4 91 0 3 4 92 1 3 4 93 −5 −5 7 94 Es existiert keine Lösung. 95 96 14 20 −22 97 −1 −3 5 98 0 −3 5 99 2 3 4 100 −3 −6 7 101 −3 4 4 102 118 229 −239 103 Es existiert keine Lösung. 104 105 −4 −7 8 106 2 −3 5 107 −28 −48 51

Chronologie der Entdeckungen

1954

Miller und Woolet fanden 69 der 78 möglichen Lösungen für $1\leq n\leq 100$ per Brute-Force-Suche aller Kombinationen $|x|\leq |y|\leq |z|\leq 2164$.

Unbekannt blieben die Lösungen der neun Zahlen $30,\ 33,\ 39,\ 42,\ 52,\ 74,\ 75,\ 84$ und $87$.

Die letzten 5 der 69 gefundenen Zerlegungen lauten:

$70=11^{3}+20^{3}+(-21)^{3}$

$96=14^{3}+20^{3}+(-22)^{3}$

$79=(-19)^{3}+(-33)^{3}+35^{3}$

$78=26^{3}+53^{3}+(-55)^{3}$

$51=602^{3}+659^{3}+(-796)^{3}$

1963

Gardiner, Lazarus und Stein suchten weiter mit $|x|\leq |y|\leq 2^{16}$ und $0\leq z-x\leq 2^{16}$ für $1\leq n\leq 1000$.

Für $n\leq 100$ fanden sie folgende weitere Lösung:

$87=(-1972)^{3}+(-4126)^{3}+4271^{3}$

Für $n\leq 1000$ fanden sie 708 der 778 Lösungen.

Die letzten 5 der 708 gefundenen Zerlegungen lauten:

$978=8666^{3}+40169^{3}+(-40303)^{3}$

$402=37685^{3}+41378^{3}+(-49915)^{3}$

$583=(-17419)^{3}+(-48223)^{3}+(48969)^{3}$

$227=24579^{3}+51748^{3}+(-53534)^{3}$

$971=7423^{3}+55643^{3}+(-55687)^{3}$

1992

Heath-Brown, Lioen und te Riele fanden folgende weitere Lösung:

$39=117367^{3}+134476^{3}+(-159380)^{3}$

1994

Conn und Vaseršteĭn fanden folgende weitere Lösung:

$84=(-8241191)^{3}+(-41531726)^{3}+41639611^{3}$

1999

Für $n\leq 100$ waren bereits für 75 verschiedene $n$ Lösungen bekannt.

Es kamen hinzu:

$75=4381159^{3}+435203083^{3}+(-435203231)^{3}$

$30=(-283059965)^{3}+(-2218888517)^{3}+2220422932^{3}$

$52=23961292454^{3}+60702901317^{3}+(-61922712865)^{3}$

Damit fehlten nur noch die Lösungen für $n=33,\ 42$ und $74$.

Für $n\leq 1000$ fanden sie 751 der 778 Lösungen.

2007

fehlten nur noch für folgende $n$ zwischen $1$ und $1000$ obige Darstellungen:

$33,\ 42,\ 74,\ 114,\ 165,\ 390,\ 579,\ 627,\ 633,\ 732,\ 795,\ 906,\ 921$ und $975$

2016

wurde das Problem für $n=74$ von Sander Huisman gelöst:

$74=(-284650292555885)^{3}+66229832190556^{3}+283450105697727^{3}$

2019

wurde das Problem für $n=33$ vom Mathematiker Andrew Booker mittels massivem Computer-Einsatz gelöst:

$33=8866128975287528^{3}+(-8778405442862239)^{3}+(-2736111468807040)^{3}$

September 2019

wurde das Problem für die letzte verbliebene Zahl $n\leq 100$, nämlich für $n=42$ ebenfalls von Andrew Booker und dem Mathematiker Andrew Sutherland gelöst:

$42=(-80538738812075974)^{3}+80435758145817515^{3}+12602123297335631^{3}$

Da $n=42$ das letzte ungelöste Problem bis $n\leq 100$ für diese Art von Gleichung war, wurde spaßeshalber ein Zusammenhang mit der Antwort 42 aus der mehrfach verfilmten Roman- und Hörspielreihe Per Anhalter durch die Galaxis des englischen Autors Douglas Adams hergestellt.

bis Mitte 2020

wurden, ebenfalls von Andrew Booker und Andrew Sutherland, drei weitere Fälle gelöst:

$165=(-385495523231271884)^{3}+383344975542639445^{3}+98422560467622814^{3}$

$795=(-14219049725358227)^{3}+14197965759741571^{3}+2337348783323923^{3}$

$906=(-74924259395610397)^{3}+72054089679353378^{3}+35961979615356503^{3}$

Eine Darstellung als Summe von drei Kubikzahlen ist somit nur noch für die folgenden acht Werte für $n\leq 1000$ unbekannt (Stand: 1. Juni 2020):

$114,\ 390,\ 579,\ 627,\ 633,\ 732,\ 921$ und $975$

Momentan ist also die Gleichung $114=x^{3}+y^{3}+z^{3}$ diejenige mit dem kleinsten natürlichen $n\in \mathbb {N} _{0}$, für die noch keine ganzzahlige Lösung bekannt ist.

Eigenschaften

• Sei $n=x^{3}+y^{3}+z^{3}$ ganzzahlig lösbar. Dann ist eine notwendige Bedingung für $n$ die folgende:

$n\not \equiv \pm 4{\pmod {9}}$

  Ausführlicher Beweis dieses Satzes

Für den Beweis benötigen wir zuerst folgenden Hilfssatz:

Für jede Kubikzahl $x^{3}$ mit $x\in \mathbb {Z}$ gilt:

$x^{3}\equiv -1,\ 0\ {\text{ oder }}+1{\pmod {9}}$

Beweis dieses Hilfssatzes:

Wir testen alle neun möglichen Varianten $x\equiv 0\ldots 8{\pmod {9}}$ durch:

${\begin{array}{rlr}{\text{Für }}x\equiv 0{\pmod {9}}{\text{ gilt: }}&x^{3}\equiv 0^{3}=0&0{\pmod {9}}\\{\text{Für }}x\equiv 1{\pmod {9}}{\text{ gilt: }}&x^{3}\equiv 1^{3}=1&+1{\pmod {9}}\\{\text{Für }}x\equiv 2{\pmod {9}}{\text{ gilt: }}&x^{3}\equiv 2^{3}=8&-1{\pmod {9}}\\{\text{Für }}x\equiv 3{\pmod {9}}{\text{ gilt: }}&x^{3}\equiv 3^{3}=27\equiv &\ 0{\pmod {9}}\\{\text{Für }}x\equiv 4{\pmod {9}}{\text{ gilt: }}&x^{3}\equiv 4^{3}=64\equiv &+1{\pmod {9}}\\{\text{Für }}x\equiv 5{\pmod {9}}{\text{ gilt: }}&x^{3}\equiv 5^{3}=125\equiv &-1{\pmod {9}}\\{\text{Für }}x\equiv 6{\pmod {9}}{\text{ gilt: }}&x^{3}\equiv 6^{3}=216\equiv &\ 0{\pmod {9}}\\{\text{Für }}x\equiv 7{\pmod {9}}{\text{ gilt: }}&x^{3}\equiv 7^{3}=343\equiv &+1{\pmod {9}}\\{\text{Für }}x\equiv 8{\pmod {9}}{\text{ gilt: }}&x^{3}\equiv 8^{3}=512\equiv &-1{\pmod {9}}\end{array}}$

Somit gilt für alle $x\in \mathbb {Z}$, dass nur $x^{3}\equiv -1,\ 0\ {\text{ oder }}+1{\pmod {9}}$ sein kann,

womit dieser Hilfssatz bewiesen ist.

Beweis des Hauptsatzes:

Nun muss bewiesen werden, dass die Summe $n$ dreier Kubikzahlen nie $n\equiv 4{\text{ oder }}5{\pmod {9}}$ sein kann.

Dazu addieren wir drei Zahlen $x^{3},y^{3}{\text{ und }}z^{3}$ mit jeweils der Eigenschaft

$x^{3},y^{3},z^{3}\equiv -1,\ 0\ {\text{ oder }}{+1}{\pmod {9}}$.

Dabei sind für $n=x^{3}+y^{3}+z^{3}\equiv -3,\ \ldots ,+3$ erreichbar, da

maximal drei positive Gewichte $+1$ (ergibt dann $+3$) oder

maximal drei negative Gewichte $-1$ (ergibt dann $-3$) addiert werden können.

Da $n\equiv \pm 4\equiv -5{\pmod {9}}$

nicht $n\equiv -3,\ \ldots ,+3{\pmod {9}}$ erfüllen, sind sie durch keine der möglichen Summen erreichbar.

Somit ist immer $n\not \equiv \pm 4{\pmod {9}}$, was zu zeigen war.  ∎ 

Es ist nicht bekannt, ob diese Eigenschaft für $n$ auch hinreichend ist (dann wäre nämlich das bis dato ungelöste Problem der Zahlentheorie, dem dieser Artikel gewidmet ist, gelöst). Es wurde jedoch von Heath-Brown vermutet, dass die diophantische Gleichung $n=x^{3}+y^{3}+z^{3}$ für alle $n\not \equiv \pm 4{\pmod {9}}$ unendlich viele ganzzahlige Lösungen hat.

• Es gibt einige spezielle Beziehungen zwischen $x$ und $n$, wie zum Beispiel die folgenden:

Sei $n=x^{3}+y^{3}+z^{3}$ ganzzahlig lösbar. Bei gegebenem $n$ gelten die folgenden Bedingungen für $x$:

Wenn $n\equiv +2{\pmod {7}}$ ist, muss gelten: $x\equiv 0,+1,+2$ oder $+4{\pmod {7}}$.

Wenn $n\equiv -2{\pmod {7}}$ ist, muss gelten: $x\equiv 0,-1,-2$ oder $-4{\pmod {7}}$.

Wenn $n\equiv +3{\pmod {7}}$ ist, muss gelten: $x\equiv +1,+2$ oder $+4{\pmod {7}}$.

Wenn $n\equiv -3{\pmod {7}}$ ist, muss gelten: $x\equiv -1,-2$ oder $-4{\pmod {7}}$.

Wenn $n\equiv +2{\pmod {9}}$ ist, muss gelten: $x,y,z\not \equiv +2{\pmod {3}}$.

Wenn $n\equiv -2{\pmod {9}}$ ist, muss gelten: $x,y,z\not \equiv -2{\pmod {3}}$.

Wenn $n\equiv +3{\pmod {9}}$ ist, muss gelten: $x,y,z\equiv +1{\pmod {3}}$.

Wenn $n\equiv -3{\pmod {9}}$ ist, muss gelten: $x,y,z\equiv -1{\pmod {3}}$.

Jeweils kleinste Darstellungen für n = 0 bis 91 der OEIS entnehmen

Im Folgenden wird beschrieben, wie die kleinsten Lösungen für größere n den Listen Folge A060464 in OEIS ... Folge A060467 in OEIS zu entnehmen sind. Die vier Listen enthalten jeweils in gleicher Abfolge die Werte für n, x, y und z für Werte von n, für die eine Lösung existiert und bekannt ist. Es ist jeweils die Lösung mit $|x|\leq |y|\leq |z|$ enthalten.

Folge A060464 in OEIS enthält die $n$:

00, 01, 02, 03,  06, 07, 08,

09, 10, 11, 12,  15, 16, 17,

18, 19, 20, 21,  24, 25, 26,

27, 28, 29, 30,  33, 34, 35,

36, 37, 38, 39,  42, 43, 44, …

Folge A060465 in OEIS enthält die $x$:

0, 0, 0, 1, −1, 0, 0,

0, 1, −2, 7, −1, −511, 1,

−1, 0, 1, −11, −2901096694, −1, 0,

0, 0, 1, −283059965, −2736111468807040, −1, 0,

1, 0, 1, 117367, 12602123297335631, 2, −5, …

Folge A060466 in OEIS enthält die $y$:

0, 0, 1, 1, −1, −1, 0,

1, 1, −2, 10, 2, −1609, 2,

−2, −2, −2, −14, −15550555555, −1, −1,

0, 1, 1, −2218888517, −8778405442862239, 2, 2,

2, −3, −3, 134476, 80435758145817515, 2, −7,

Folge A060467 in OEIS enthält die $z$:

0, 1, 1, 1, 2, 2, 2,

2, 2, 3, −11, 2, 1626, 2,

3, 3, 3, 16, 15584139827, 3, 3,

3, 3, 3, 2220422932, 8866128975287528, 3, 3,

3, 4, 4, −159380, −80538738812075974, 3, 8, …

Beispiel für n = 24, dem 19. Eintrag

In obigen vier Listen wurde jeweils der 19. Eintrag fett markiert. Die Werte lauten:

n = 24

x = −2901096694

y = −15550555555

z = 15584139827

Die kleinstmögliche Darstellung für n = 24 lautet damit:

$24=(-2901096694)^{3}+(-15550555555)^{3}+15584139827^{3}$

Trivia

• Für $x,y,z\in \mathbb {Q}$ existieren immer Lösungen. Für eine gegebene Zahl $n>0$ und einen frei wählbaren Parameter $b=\mathbb {Z} \setminus \{0\}$ erhält man Lösungen z. B. durch:

$x={\frac {(9b^{6}-30n^{2}b^{3}+n^{4})(3b^{3}+n^{2})+72n^{4}b^{3}}{6bn\ (3b^{3}+n^{2})^{2}}}$

$y={\frac {30n^{2}b^{3}-9b^{6}-n^{4}}{6bn\ (3b^{3}+n^{2})}}$

$z={\frac {18nb^{5}-6n^{3}b^{2}}{(3b^{3}+n^{2})^{2}}}$

• Sobald eine der Basen $x,y,z$ $\in \mathbb {R}$ sein darf, sind beliebige Lösungen direkt ohne Umwege konstruierbar:

$x^{3}+y^{3}+z^{3}=n\ \longrightarrow \ x={\sqrt[{3}]{n-y^{3}-z^{3}}}$,   $n$ gegeben, $y,z$ beliebig

Weblinks

• W. Conn, L. N. Vaseršteĭn: On Sums of Three Integral Cubes. Contemporary Mathematics 166, März 1992, S. 1–11, abgerufen am 19. September 2019. 
• Roger Heath-Brown, Herman te Riele, Walter M. Lioen: On solving the Diophantine equation x³+y³+z³=k on a vector computer. Mathematics of Computation 61 (203), Juli 1993, S. 235–244, abgerufen am 19. September 2019. 
• Kenji Koyama: Tables of solutions of the Diophantine equation x³+y³+z³=n. Mathematics of Computation 62 (206), April 1994, S. 941–942, abgerufen am 24. September 2019. 
• Eric Rowland: Koyama's table of integer solutions of n=x³+y³+z³. Abgerufen am 24. September 2019 (5417 Lösungen von n=2 bis 999, davon 521 Lösungen von n=2 bis 100). 
• Erik Dofs: Solution of x³+y³+z³=nxyz. Acta Arithmetica LXXIII.3, 1995, S. 201–213, abgerufen am 19. September 2019. 
• Kenji Koyama, Yukio Tsuruoka, Hiroshi Sekigawa: On searching for solutions of the diophantine equation x³+y³+z³=n. Mathematics of Computation 66 (218), April 1997, S. 841–851, abgerufen am 19. September 2019. 
• Eric Rowland: Known families of integer solutions of x³+y³+z³=n. 28. Februar 2005, S. 1–6, abgerufen am 19. September 2019. 
• Michael Beck, Eric Pine, Wayne Tarrant, Kin Yarbrough Jensen: New Integer Representations as the Sum of three Cubes. Mathematics of Computation 76 (259), Juli 2007, S. 1683–1690, abgerufen am 19. September 2019. 
• Sander G. Huisman: Newer Sums of three Cubes. 26. April 2016, S. 1–3, abgerufen am 19. September 2019. 
• Armen Avagyan, Gurgen Dallakyan: A new method in the problem of three cubes. Armenian State Pedagogical University after Khachatur Abovyan, 21. Februar 2018, S. 1–23, abgerufen am 19. September 2019.