Tamagawa-Zahl

In der Mathematik ist die Tamagawa-Zahl eine Invariante algebraischer Gruppen. Eine von Robert Kottwitz bewiesene Vermutung André Weils besagt, dass sie für einfach zusammenhängende halbeinfache algebraische Gruppen stets $1$ ist.

Definition

Sei $G$ eine reduktive algebraische Gruppe über einem globalen Körper. Das Haar-Maß auf dem Adelring ${\mathbb {A} }$ kann so normiert werden, dass der Faktorraum ${\mathbb {A} }/k$ Maß $1$ hat. Mit einer links-invarianten $\dim(G)$-Form $\omega$ auf $G(k)$ und den Haar-Maßen auf den Vervollständigungen $k_{\nu }$ erhält man Haar-Maße auf $G(k_{\nu })$. Tamagawa zeigte, dass das damit erhaltene Haar-Maß auf $G({\mathbb {A} })$ nicht von der Wahl von $\omega$ abhängt: $c\omega$ gibt dasselbe Maß. Das so konstruierte Haar-Maß wird als Tamagawa-Maß bezeichnet.

Die Tamagawa-Zahl von $G$ ist das Volumen von $G({\mathbb {A} })/G(k)$ bzgl. der Projektion des Tamagawa-Maßes.

Literatur

• André Weil: Adèles et groupes algébriques, Séminaire Bourbaki, vol. 5, S. 249–257, 1959
• Robert Kottwitz: Tamagawa numbers, Ann. of Math. 127 (3), 629–646, 1988

Weblinks

• Tamagawa number (Encyclopedia of Mathematics)
• Tamagawa number (nLab)