Barrios Vera begann mit drei Jahren Tennis zu spielen und war als Junior bereits recht erfolgreich. 2015 spielte er bei drei von vier Grand-Slam-Turnieren. Dabei gelang ihm bei den French Open der Einzug ins Viertelfinale, das er gegen Taylor Fritz verlor. Bei den Wimbledon Championships schaffte er den Einzug ins Achtelfinale, während er bei den US Open bereits in der ersten Runde ausschied. Seine beste Platzierung in der Junioren-Weltrangliste war ein kombinierter 5. Rang.
Bereits mit 15 Jahren bestritt Barrios Vera seine ersten Spiele auf der Profi-Tour. Er spielt hauptsächlich Turniere der ITF Future Tour sowie der ATP Challenger Tour. Auf der Future Tour konnte er bislang vier Einzel- und drei Doppeltitel gewinnen. Sein erster Erfolg auf der Challenger Tour war 2017 der Gewinn des Doppeltitels in Santiago de Chile. Gemeinsam mit seinem Landsmann Nicolás Jarry erhielt er eine Wildcard und spielte sich bis ins Finale. Dort trafen sie auf das topgesetzte Duo Máximo González und Andrés Molteni, gegen das sie sich in zwei Sätzen durchsetzten. Im Einzel ist seine beste Platzierung ein 387. Rang, im Doppel ein 380. Rang.
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