Ungleichung von Lévy

Die Ungleichung von Lévy (englisch Lévy’s inequality) ist eine stochastische Ungleichung innerhalb des Gebiets der Wahrscheinlichkeitsrechnung, welche auf den Mathematiker Paul Lévy (1886–1971) zurückgeht. Sie bezieht sich auf endliche Familien von unabhängigen reellwertigen Zufallsvariablen und liefert dafür eine obere Abschätzung unter Einbeziehung von Medianen. Nach A. N. Širjaevs Lehrbuch Wahrscheinlichkeit lässt sich nicht zuletzt mit Hilfe (einer speziellen Version) dieser Ungleichung ein Hilfssatz zum Beweis des Gesetzes vom iterierten Logarithmus für Summen von Zufallsvariablen gewinnen.

Formulierung

Die Ungleichung lässt sich wie folgt angeben:

Gegeben seien eine natürliche Zahl $\,n\in \mathbb {N} \,$ sowie ein Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )$ und dazu $n$ unabhängige reellwertige Zufallsvariablen $\,X_{1},\ldots ,X_{n}\colon (\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R} \;\,$ und dabei sei für $i=0,1,\ldots ,n$ (wie üblich)

$S_{i}=\sum _{j=1}^{i}{X_{j}}$

gesetzt.

Weiter sei für reellwertige Zufallsvariable $\,Y\colon (\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R} \,$ mit $\,\mu (Y)\,$ stets ein $\,Y$-Median gemeint.

Dann ist für reelle Zahlen $\,a\in \mathbb {R} \,$ stets die Ungleichung

$\operatorname {P} \left(\max _{0\leq k\leq n}\left(S_{k}+\mu (S_{n}-S_{k})\right)>a\right)\;\leq \;2\cdot \operatorname {P} \left(S_{n}>a\right)$

erfüllt.

Spezialfall

Die obige Ungleichung vereinfacht sich für den Fall, dass symmetrisch verteilte Zufallsvariablen vorliegen. Es gilt nämlich gemäß Širjaev folgendes:

Sind die allgemeinen Voraussetzungen wie oben angegeben und sind überdies die Zufallsvariablen $\,X_{1},\ldots ,X_{n}\colon (\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R} \;\,$ alle symmetrisch um Null verteilt, so ist die Ungleichung

$\operatorname {P} {\bigl (}\max(S_{0},S_{1},\ldots ,S_{n})>a{\bigr )}\;\leq \;2\cdot \operatorname {P} \left(S_{n}>a\right)\,$

gültig.

Varianten

Nach Darstellung von Michel Loève in dessen Lehrbuch Probability Theory I und ebenso nach der von Laha/Rohatgi in deren Lehrbuch Probability Theory (s. u.) spricht man sogar von zwei Ungleichungen von Lévy (englisch Lévy inequalities). Sie lassen sich folgendermaßen angeben:

Unter den zuvor angegebenen Grundvoraussetzungen sind für reelle Zahlen $\,\epsilon \in \mathbb {R} \,$ stets die beiden Ungleichungen

(i) $\operatorname {P} \left(\max _{0\leq k\leq n}\left(S_{k}-\mu (S_{k}-S_{n})\right)\geq \epsilon \right)\;\leq \;2\cdot \operatorname {P} \left(S_{n}\geq \epsilon \right)$

und

(ii) $\operatorname {P} \left(\max _{0\leq k\leq n}|S_{k}-\mu (S_{k}-S_{n})|\geq \epsilon \right)\;\leq \;2\cdot \operatorname {P} \left(|S_{n}|\geq \epsilon \right)$

erfüllt.

Verallgemeinerungen

Es existieren Verallgemeinerungen der Ungleichung von Lévy und darunter sogar eine mit dieser direkt verwandte Ungleichung, welche die obige Variante (ii) (bei fast gleichem Wortlaut) auf den Fall verallgemeinert, dass (vergleichbar dem obigen Spezialfall) endlich viele symmetrisch verteilte Zufallsvariablen vorliegen, die dann aber sogar Werte in einem beliebigen separablen Banachraum annehmen dürfen, wobei dessen Norm dann an die Stelle der obigen Betragsfunktion tritt.

Literatur

• M. Loève: Probability Theory I (= Graduate Texts in Mathematics. Band 45). 4. Auflage. Springer Verlag, New York, Heidelberg, Berlin 1977, ISBN 3-540-90210-4 (MR0651017). 
• R. G. Laha, V. K. Rohatgi: Probability Theory (= Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics). John Wiley & Sons, New York, Chichester, Brisbane, Toronto 1979, ISBN 0-471-03262-X (MR0534143). 
• A. I. Sakhanenko: On Lévy–Kolmogorov Inequalities for Banach-Space-Valued Random Variables. In: Theory of Probability & Its Applications. Band 29, 1985, S. 830–836, doi:10.1137/1129113 (MR0773454). 
• A. N. Širjaev: Wahrscheinlichkeit (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 91). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1988, ISBN 3-326-00195-9 (MR0967761). 
• Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik in sechs Bänden. Dritter Band. Inp bis Mon. Springer Spektrum, Heidelberg, Berlin 2001, ISBN 3-8274-0435-5. 

Weblinks

• Eintrag Lévy, Ungleichung von im Lexikon der Mathematik (2017)