Van-Cittert-Dekonvolution

Die Van-Cittert-Dekonvolution (benannt nach Pieter Hendrik van Cittert) ist ein Verfahren, um die Faltung eines Bildes g mit einer Filtermaske (PSF) h rückgängig zu machen (Dekonvolution/inverse Filterung). Sie kann zur Verbesserung der Bildqualität benutzt werden, wenn das Bild zum Beispiel durch ein unscharfes Objektiv o. ä. „verwaschen“ wurde. Das Bild g stellt das ideale Bild dar, das man als Ergebnis des Verfahrens erhalten möchte. Das verwaschene Bild f, das den Ausgangspunkt des Verfahrens darstellt, wird beschrieben durch:

$f={\mathcal {H}}\ g=g*h$

Hier entspricht ${\mathcal {H}}$ dem Filteroperator, der durch Faltung mit h dargestellt wird. Ziel ist es, folgenden Ausdruck zu berechnen:

$g={\mathcal {H}}^{-1}\ f$

Die Van-Cittert-Dekonvolution approximiert diesen durch eine iterative Formel:

$g_{0}=f\,$

$g_{k+1}=f+({\mathcal {I}}-{\mathcal {H}})g_{k}=f+(I-h)*g_{k}$

Dabei ist ${\mathcal {I}}$ ein Operator, dessen Punktantwort I einem Delta-Puls entspricht (überall 0, nur in der Mitte 1). Die Operation ${\mathcal {I}}g_{k}$ ergibt also gerade $g_{k}$. Die Stärke der Rückfaltung hängt von der Anzahl der Iterationsschritte k ab. Je mehr Iterationsschritte durchgeführt werden, desto stärker ist die Rückfaltung (Schärfung). Dafür wird das Bildrauschen bei zu großer Anzahl an Iterationen verstärkt und somit das Bild wieder undeutlich.

Beispiel

Die folgenden Bilder zeigen die Anwendung der Van-Cittert-Iteration auf ein weichgezeichnetes Bild (3×3-Gauß-Filter):

Van-Cittert-Iteration

Herleitung

Im Fourierraum wird die Faltung zu einer punktweisen Multiplikation, sodass gilt:

${\hat {g}}={\hat {f}}\cdot {\hat {h}}^{-1}={\frac {\hat {f}}{\hat {h}}}$

Dies lässt sich leicht berechnen, wenn die Übertragungsfunktion ${\hat {h}}$ keine Nullstellen enthält, da sonst eine Division durch 0 nötig wäre. Um dieses Problem zu umgehen, führt man ${\hat {h}}'=1-{\hat {h}}$ ein. Damit gilt dann:

${\hat {g}}={\frac {\hat {f}}{\hat {h}}}={\frac {\hat {f}}{1-{\hat {h}}'}}\approx (1+{\hat {h}}'+{\hat {h}}'^{2}+{\hat {h}}'^{3}+\ldots )\cdot {\hat {f}}$

Im letzten Schritt wurde eine Taylor-Entwicklung durchgeführt. Dabei wird der Term $(1-{\hat {h}}')^{-1}$ um die invariante Abbildung ${\hat {h}}=1$, bzw. ${\hat {h}}'=0$ entwickelt. Im Ortsraum ergibt dieser Ausdruck:

$g={\mathcal {H}}^{-1}f\approx ({\mathcal {I}}+{\mathcal {H}}'+{\mathcal {H}}'^{2}+{\mathcal {H}}'^{3}+\ldots )f$    mit ${\mathcal {H}}'={\mathcal {I}}-{\mathcal {H}}$.

Unter Ausnutzung des Horner-Schemas für dieses Polynom erhält man obige Iterationsvorschrift:

$g_{0}=f$

$g_{k+1}=f+({\mathcal {I}}-{\mathcal {H}})g_{k}=f+(I-h)*g_{k}$

Literatur

• P. H. van Cittert: Zum Einfluß der Spaltbreite auf die Intensitätsverteilung in Spektrallinien. II. In: Zeitschrift für Physik. Band 69, Nr. 5, 1. Mai 1931, S. 298–308, doi:10.1007/BF01391351. 
• Bernd Jähne: Digitale Bildverarbeitung. 6. Auflage, Springer, 2005, ISBN 3-540-24999-0.