In der Mathematik ist der Verma-Modul ein unendlich-dimensionaler Modul über der universellen einhüllenden Algebra einer Lie-Algebra, aus dem sich die endlich-dimensionalen Darstellungen eines gegebenen höchsten Gewichts gewinnen lassen.
Sei
eine komplexe halbeinfache Lie-Algebra,
eine Cartan-Unteralgebra,
das Wurzelsystem mit
als Menge der positiven Wurzeln. Für jedes
wählen wir ein
und
.
Zu einem Gewicht
konstruiert man den Verma-Modul
als Quotient
![{\displaystyle W_{\lambda }:=U({\mathfrak {g}})/I_{\lambda }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8df9d8a3bceddd086cca364de716ef279abd170f)
der universellen einhüllenden Algebra
nach dem Linksideal
erzeugt von allen Elementen der Form
![{\displaystyle X_{\alpha },\alpha \in R^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/897ec6152a2e0bdf55c3696fa408595fb5616804)
und
.
Für einen Vektor höchsten Gewichts
ist die durch
![{\displaystyle \Phi (x)=x\cdot v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbdea600b25c34e2d4e9c67c0f5b960dc7b0909b)
definierte Abbildung
ein surjektiver Homomorphismus.
Wir betrachten das Beispiel
. Für
wählen wir den Aufspann von
.
Für ein beliebiges
definieren wir
durch
. Wir wählen
und
.
Dann wird der Verma-Modul
von linear unabhängigen Vektoren
erzeugt und
wirkt durch
.
Wegen
ist der von
aufgespannte Untervektorraum ein invarianter Unterraum. Der Quotient von
nach diesem Unterraum gibt die endlich-dimensionale Darstellung von
mit höchstem Gewicht
.
Zu jeder Darstellung
von
, deren höchstes Gewicht
ist, gibt es einen surjektiven Lie-Algebren-Homomorphismus
.
- Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
- Humphreys, J. (1980), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer Verlag, ISBN 978-3-540-90052-8.