Vivianisches Fenster

Viviani-Fenster: Schnitt einer Kugel mit einem berührenden Zylinder

Die hellblaue Halbkugelfläche ist quadrierbar

Ein vivianisches Fenster oder vivianische Kurve, benannt nach dem italienischen Mathematiker und Physiker Vincenzo Viviani, ist eine 8-förmige Kurve auf einer Kugel, die man als Schnittkurve der Kugel (Radius $r$) und einem die Kugel berührenden Zylinder mit Radius $r/2$ erzeugen kann. (S. Bild).

Viviani stellte 1692 die Aufgabe, aus einer Halbkugel (Radius $r$) zwei Fenster so herauszuschneiden, dass der Rest der Halbkugelfläche „quadrierbar“ ist. Dabei bedeutet quadrierbar: Man kann mit Zirkel und Lineal ein flächengleiches Quadrat konstruieren. Es stellt sich heraus (s. unten), dass der fragliche Flächeninhalt $4r^{2}$ ist.

Senkrechter Zylinder

Analytische Beschreibung

Um die Quadrierbarkeit möglichst einfach zeigen zu können, wird hier angenommen, dass

die Kugel durch die Gleichung $\;x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\;$ beschrieben wird und

der Zylinder senkrecht steht und der Gleichung $\;x^{2}+y^{2}-rx=0\;$ genügt.

Der Zylinder berührt die Kugel im Punkt $(r,0,0)\ .$

Eigenschaften der Kurve

Grund-, Auf- und Seitenrisse

Grund, -Auf- und Seitenriss

Durch Elimination von $x$ bzw. $y$ bzw. $z$ aus den Gleichungen ergibt sich: Die orthogonale Projektion der Kurve auf die

$x$-$y$-Ebene ist der Kreis mit der Gleichung $\;(x-{\tfrac {r}{2}})^{2}+y^{2}=({\tfrac {r}{2}})^{2}\ .$

$x$-$z$-Ebene die Parabel mit der Gleichung $\;x=-{\tfrac {1}{r}}z^{2}+r\;.$

$y$-$z$-Ebene die algebraische Kurve mit der Gleichung $\;z^{4}+r^{2}(y^{2}-z^{2})=0\;.$

Parameterdarstellung

Zur Parameterdarstellung und Inhaltsbestimmung

Stellt man die Kugel mit Kugelkoordinaten

${\begin{array}{cll}x&=&r\cdot \cos \theta \cdot \cos \varphi \\y&=&r\cdot \cos \theta \cdot \sin \varphi \\z&=&r\cdot \sin \theta \qquad \qquad -{\tfrac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\tfrac {\pi }{2}}\ ,\ -\pi \leq \varphi \leq \pi \;,\end{array}}$

dar und setzt $\;\varphi =\theta ,\;$ erhält man die Kurve

• ${\begin{array}{cll}x&=&r\cdot \cos \theta \cdot \cos \theta \\y&=&r\cdot \cos \theta \cdot \sin \theta \\z&=&r\cdot \sin \theta \qquad \qquad -{\tfrac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\tfrac {\pi }{2}}\ .\end{array}}$

Man prüft leicht nach, dass diese Kurve nicht nur auf der Kugel liegt, sondern auch die Zylindergleichung erfüllt. Diese Kurve ist allerdings nur die eine Hälfte (rot) der Viviani-Kurve, nämlich der Teil von links unten nach rechts oben. Den anderen Teil (grün, von rechts unten nach links oben) erhält man über die Beziehung $\;\color {green}\varphi =-\theta \;.$

Mit Hilfe dieser Parameterdarstellung lässt sich die Aufgabe von Viviani leicht lösen.

Quadrierbarkeit der Restfläche

Den Inhalt des rechten oberen Viertels des vivianischen Fensters (s. Bild) erhält man mittels eines Oberflächenintegrals:

$\iint _{O_{Kug}}r^{2}\cos \theta \,\mathrm {d} \theta \mathrm {d} \varphi =r^{2}\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\theta }\cos \theta \,\mathrm {d} \varphi \mathrm {d} \theta =r^{2}({\frac {\pi }{2}}-1)\ .$

Der gesamte Flächeninhalt des von der vivianischen Kurve eingeschlossenen Fläche ist also $2\pi r^{2}-4r^{2}$ und

• der Inhalt der Halbkugel-Oberfläche ($2\pi r^{2}$) ohne dem Inhalt des vivianischen Fensters ist $\;4r^{2}\;$, also gleich dem Quadrat des Kugeldurchmessers.

Beziehung zu anderen Kurven

• Der Aufriss (s. oben) ist eine Lemniskate von Gerono.
• Die vivianische Kurve ist ein Spezialfall einer Clelia-Kurve. Bei einer Clelia-Kurve ist $\;\varphi =c\;\theta \;.$

Vivianische Kurve als Schnitt der Kugel mit einem Kegel (rosa)

Subtrahiert man von der Kugelgleichung 2× die Zylindergleichung und führt quadratische Ergänzung durch, erhält man die Gleichung

$(x-r)^{2}+y^{2}=z^{2}\;.$

Diese Gleichung beschreibt einen senkrechten Kreiskegel mit der Spitze im Punkt $\;(r,0,0)\;$, dem Doppelpunkt der vivianischen Kurve. Also gilt

• Die vivianische Kurve ergibt sich auch sowohl beim Schnitt

a) der Kugel mit dem Kegel mit der Gleichung $\;(x-r)^{2}+y^{2}=z^{2}\;$

als auch beim Schnitt

b) des Zylinders mit diesem Kegel.