Von-Mises-Verteilung

Von-Mises-Verteilung
Dichtefunktion
Verteilungsfunktion
Parameter	$\mu \in \mathbb {R}$, $\kappa >0$
Träger	beliebiges Intervall der Länge 2π
Dichtefunktion	${\frac {1}{2\pi I_{0}(\kappa )}}e^{\kappa \cos(x-\mu )}$
Verteilungsfunktion	nicht analytisch, siehe Text
Erwartungswert	$\mu$
Varianz	$1-I_{1}(\kappa )/I_{0}(\kappa )$ (zirkulär)
Entropie	$\ln(2\pi I_{0}(\kappa ))-\kappa {\frac {I_{1}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}$
Charakteristische Funktion	${\frac {I_{|t|}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}e^{it\mu }$

Die Von-Mises-Verteilung ist die Entsprechung der Normalverteilung für periodische Funktionen. Sie hat zwei Parameter, $\mu$ für die Lage des Maximums und $\kappa$ für die Schärfe der Verteilung. Die Funktion ist symmetrisch um ihr Maximum an der Stelle $\mu$. Für $\kappa =0$ geht sie in die Gleichverteilung über. Für große $\kappa$ geht sie in die (periodisch fortgesetzte) Normalverteilung mit Varianz $\sigma ^{2}=1/\kappa$ über.

Die Von-Mises-Verteilung gilt im Bereich der zirkulären Statistik als die am einfachsten handhabbare Verteilungsfunktion. Sie hat die Eigenschaft, die Entropie zu maximieren, wenn lediglich das zirkuläre Mittel und die zirkuläre Varianz gegeben sind.

Sie ist nach dem österreichischen Mathematiker Richard von Mises benannt.

Summen mehrerer Von-Mises-Komponenten werden dann gegenüber der Fourier-Analyse bevorzugt, wenn die zu approximierende Funktion über weite Teile der Periode verschwindet, siehe die beiden letzten Beispiele:

• Häufigkeitsverteilung der Abflugrichtung von Brieftauben,
• Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Hauptwindrichtung im Rahmen einer Vorhersage,
• Intensitätsverlauf des Radiosignals eines Pulsars,

• Bayes-Schätzung mit mehrdeutigen Messungen.

Definition

Im Folgenden ist $x$ entweder der geometrische Winkel in der Ebene oder der Phasenwinkel eines Signals. Die Dichtefunktion der Von-Mises-Verteilung lautet:

$f(x\mid \mu ,\kappa )={\frac {1}{2\pi I_{0}(\kappa )}}e^{\kappa \cos(x-\mu )}$

Der Faktor vor der Exponentialfunktion normiert das Integral der Funktion über eine Periode auf den Wert 1. Darin ist $I_{0}(\kappa )$ die modifizierte Bessel-Funktion nullter Ordnung.

Verallgemeinerungen

Die Von-Mises-Fisher-Verteilung verallgemeinert die Verteilung auf die Sphäre $S^{n-1}$.

Einzelnachweise

Diskrete univariate Verteilungen

Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli | beta-binomial | binomial | Dirac | diskret uniform | empirisch | hypergeometrisch | kategorial | negativ hypergeometrisch | Rademacher | verallgemeinert binomial | Zipf | Zipf-Mandelbrot | Zweipunkt

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | discrete-Phase-Type | erweitert negativ binomial | Gauss-Kuzmin | gemischt Poisson | geometrisch | logarithmisch | negativ binomial | parabolisch-fraktal | Poisson | Skellam | verallgemeinert Poisson | Yule-Simon | Zeta

Kontinuierliche univariate Verteilungen

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall:
Beta | Cantor | Kumaraswamy | raised Cosine | Dreieck | Trapez | U-quadratisch | stetig uniform | Wigner-Halbkreis

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall:
Beta prime | Bose-Einstein | Burr | Chi | Chi-Quadrat | Coxian | Erlang | Exponential | Extremwert | F | Fermi-Dirac | Folded normal | Fréchet | Gamma | Gamma-Gamma | verallgemeinert invers Gauß | halblogistisch | halbnormal | Hartman-Watson | Hotellings T-Quadrat | hyper-exponentiale | hypoexponential | invers Chi-Quadrat | scale-invers Chi-Quadrat | Invers Normal | Invers Gamma | Kolmogorow-Verteilung | Lévy | log-normal | log-logistisch | Maxwell-Boltzmann | Maxwell-Speed | Nakagami | nichtzentriert Chi-Quadrat | Pareto | Phase-Type | Rayleigh | relativistisch Breit-Wigner | Rice | Rosin-Rammler | shifted Gompertz | truncated normal | Type-2-Gumbel | Weibull | Wilks’ Lambda

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschränktem Intervall:
Cauchy | Extremwert | exponential Power | Fishers z | Fisher-Tippett (Gumbel) | generalized hyperbolic | Hyperbolic-secant | Landau | Laplace | alpha-stabil | logistisch | normal (Gauß) | normal-invers Gauß’sch | Skew-normal | Studentsche t | Type-1-Gumbel | Variance-Gamma | Voigt

Multivariate Verteilungen

Diskrete multivariate Verteilungen:
Dirichlet compound multinomial | Ewens | gemischt Multinomial | multinomial | multivariat hypergeometrisch | multivariat Poisson | negativmultinomial | Pólya/Eggenberger | polyhypergeometrisch

Kontinuierliche multivariate Verteilungen:
Dirichlet | GEM | generalized Dirichlet | multivariat normal | multivariat Student | normalskaliert invers Gamma | Normal-Gamma | Poisson-Dirichlet

Multivariate Matrixverteilungen:
Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit | Invers Wishart | Matrix Beta | Matrix Gamma | Matrix invers Beta | Matrix invers Gamma | Matrix Normal | Matrix Student-t | Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung | Normal-invers-Wishart | Normal-Wishart | Wishart