Weierstraßscher Vorbereitungssatz

Der Weierstraßsche Vorbereitungssatz ist ein mathematischer Satz aus der Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher. Er stellt einen Zusammenhang zwischen Nullstellen konvergenter Potenzreihen und Weierstraß-Polynomen her.

Einführung und Formulierung des Satzes

Es bezeichne ${}_{n}{\mathcal {O}}$ den Ring der konvergenten Potenzreihen um 0 in $n$ Veränderlichen; dieser Ring ist kanonisch isomorph zum Ring der Keime holomorpher Funktionen in $n$ Veränderlichen um den Nullpunkt.

Ein $f\in {}_{n}{\mathcal {O}}$ ist genau dann eine Einheit des Rings ${}_{n}{\mathcal {O}}$, d. h. in dem Ring invertierbar, wenn $f(0,\ldots ,0)\neq 0$ ist, was wiederum bedeutet, dass der konstante Term der Potenzreihe von Null verschieden ist.

Jedes $f\in {}_{n-1}{\mathcal {O}}$ kann mittels der Festlegung $f(z_{1},\ldots ,z_{n}):=f(z_{1},\ldots ,z_{n-1})$ als Element von ${}_{n}{\mathcal {O}}$ aufgefasst werden; hiermit wird der Ring ${}_{n-1}{\mathcal {O}}$ zu einem Unterring von ${}_{n}{\mathcal {O}}$. Auch der Polynomring ${}_{n-1}{\mathcal {O}}[z_{n}]$ ist dann ein Unterring von ${}_{n}{\mathcal {O}}$. Wenn im Kontext des Weierstraßschen Vorbereitungssatzes von Polynomgrad oder Grad gesprochen wird, dann ist der Grad von Elementen aus ${}_{n-1}{\mathcal {O}}[z_{n}]$ als Polynome in $z_{n}$ gemeint.

Ein Weierstraß-Polynom ist ein Element aus ${}_{n-1}{\mathcal {O}}[z_{n}]$ der Form

$z_{n}^{m}+a_{m-1}(z_{1},\ldots ,z_{n-1})\cdot z_{n}^{m-1}+\ldots +a_{1}(z_{1},\ldots ,z_{n-1})\cdot z_{n}+a_{0}(z_{1},\ldots ,z_{n-1})$

mit konvergenten Potenzreihen $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{m-1}\in {}_{n-1}{\mathcal {O}}$, die in 0 verschwinden, d. h. mit $a_{i}(0,\ldots ,0)=0$.

Eine Potenzreihe $f\in {}_{n}{\mathcal {O}}$ heißt in $z_{n}$ regulär, falls die holomorphe Funktion $z\mapsto f(0,\ldots ,0,z)$ nicht die Nullfunktion ist, und in $z_{n}$ regulär von der Ordnung $m$, falls die Funktion $z\mapsto f(0,\ldots ,0,z)$ in 0 eine Nullstelle der Ordnung $m$ hat.

Mit diesen Begriffsbildungen gilt der folgende Satz, genannt Weierstraßscher Vorbereitungssatz.

Sei $f\in {}_{n}{\mathcal {O}}$ eine konvergente Potenzreihe, die in $z_{n}$ regulär von der Ordnung $m$ ist. Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Weierstraß-Polynom $h\in {}_{n-1}{\mathcal {O}}[z_{n}]$ vom Grad $m$ und eine eindeutig bestimmte Einheit $u\in {}_{n}{\mathcal {O}}$ mit $f=u\cdot h$.

Beweisidee

$f$ konvergiert auf einem geeigneten Polykreis $\Delta (0;r_{1},\ldots ,r_{n})$. Da $f$ in $z_{n}$ regulär von der Ordnung $m$ ist, findet man $0<\delta _{j}<r_{j}$, so dass die Funktion$z_{n}\mapsto f(z_{1},\ldots ,z_{n-1},z_{n})$ für jedes feste $(z_{1},\ldots ,z_{n-1})\in \Delta (0;\delta _{1},\ldots ,\delta _{n-1})$ genau $m$ Nullstellen im Kreis $\Delta (0;\delta _{n})$ hat. Diese seien mit $\varphi _{1}(z_{1},\ldots ,z_{n-1}),\ldots ,\varphi _{m}(z_{1},\ldots ,z_{n-1})$ bezeichnet, wobei für Mehrfachnullstellen Wiederholungen auftreten. Multipliziert man

$h(z_{1},\ldots ,z_{n}):=\prod _{k=1}^{m}(z_{n}-\varphi _{k}(z_{1},\ldots ,z_{n-1}))$

aus, so erhält man ein Weierstraß-Polynom, das das Verlangte leistet.

Bemerkung

Der Name Vorbereitungssatz rührt daher, dass die Potenzreihe für die Untersuchung ihrer Nullstellen vorbereitet wird. Da der Faktor $u$ als Einheit in einer Umgebung von 0 nicht verschwindet, sind die Nullstellen in einer solchen Umgebung dieselben wie die des Weierstraß-Polynoms.

Für $n=1$, das heißt für holomorphe Funktionen einer Variablen, muss das Weierstraß-Polynom das normierte Monom $z_{1}^{m}$ sein. Es ist dann $f(z_{1})=u(z_{1})z_{1}^{m}$ mit einer holomorphen Funktion $u$, die in 0 nicht verschwindet. Der Vorbereitungssatz verallgemeinert daher die Tatsache, dass eine holomorphe Funktion einer Veränderlichen mit $m$-facher Nullstelle in 0 als $u(z_{1})z_{1}^{m}$ mit einer holomorphen in 0 nicht verschwindenden Funktion $u$ geschrieben werden kann, auf $n$ Dimensionen.

Zur Einordnung des Satzes soll noch erwähnt werden, dass sich aus ihm sehr leicht ein Satz über implizite Funktionen ergibt. Ist nämlich $f\in {}_{n}{\mathcal {O}}$ in $z_{n}$ regulär von erster Ordnung, so hat $f$ nach dem Vorbereitungssatz die Form

$f(z_{1},\ldots ,z_{n})=u(z_{1},\ldots ,z_{n})\cdot (z_{n}-a(z_{1},\ldots ,z_{n-1}))$

mit einer holomorphen Funktion $a$. Da $u(0)\not =0$, gilt in einer Umgebung von 0

$f(z_{1},\ldots ,z_{n})=0\Longleftrightarrow z_{n}=a(z_{1},\ldots ,z_{n-1})$.

Siehe auch

• Divisionssatz von Weierstraß